Đề bài
Trên một đường tròn định hướng cho ba điểm \[A, M, N\] sao cho sđ cung \[AM = \dfrac{\pi }{3}\]; sđ cung \[AN = \dfrac{{3\pi }}{4}\]. Gọi \[P\] là điểm thuộc đường tròn đó để tam giác \[MNP\] là tam giác cân. Hãy tìm số đo cung \[AP\].
Lời giải chi tiết
Cách 1. Dùng hình vẽ, dễ dàng suy ra các kết quả sau
.\[PN = PM \Leftrightarrow \] sđ cung \[AP = \dfrac{{13\pi }}{{24}} + k\pi \left[ {k \in Z} \right]\] [có hai điểm P như thế ứng với k chẵn và k lẻ]
.\[NP = NM \Leftrightarrow \] sđ cung \[AP = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \left[ {k \in Z} \right]\].
.\[MP = MN \Leftrightarrow \] sđ cung \[AP = - \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi \left[ {k \in Z} \right]\].
Cách 2. Với ba điểm phân biệt \[M, N, P\] trên đường tròn định hướng tâm O gốc A, dễ thấy \[PM = PN\] khi và chỉ khi \[\widehat {POM} = \widehat {PON}\], do M khác N, ta có sđ \[[OP, OM] +\] sđ \[[OP, ON]\] = \[k2\pi \left[ {k \in Z} \right]\], tức là sđ \[[OA, OM]\] sđ \[[OA, OP]\]+ sđ \[[OA, ON]\] sđ \[[OA, OP]\] =\[k2\pi \left[ {k \in Z} \right]\].
Vậy \[PM = PN \Leftrightarrow \] sđ \[AP = \dfrac{1}{2}\][sđ cung \[AM\] + sđ cung \[AN\]] + \[k\pi \left[ {k \in Z} \right]\].
Từ đó suy ra :
.\[PN = PM \Leftrightarrow \] sđ cung \[AP = \dfrac{{13\pi }}{{24}} + k\pi \left[ {k \in Z} \right]\] [có hai điểm \[P\] như thế ứng với \[k\] chẵn và \[k\] lẻ]
.\[NP = NM \Leftrightarrow \] sđ cung \[AP = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \left[ {k \in Z} \right]\].
.\[MP = MN \Leftrightarrow \] sđ cung \[AP = - \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi \left[ {k \in Z} \right]\].