Đề bài
Cho elip \[[E]: \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 [a > b > 0].\] Gọi \[F_1, F_2\]là các tiêu điểm và \[A_1, A_2\]là các đỉnh trên trục lớn của \[[E]\]. \[M\] là điểm tùy ý trên \[[E]\] có hình chiếu trên \[Ox\] là \[H\]. Chứng minh rằng
a] \[M{F_1}.M{F_2} + O{M^2} = {a^2} + {b^2}\];
b] \[{[M{F_1} - M{F_2}]^2} = 4[O{M^2} - {b^2}]\];
c] \[H{M^2} = - \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}.\overline {H{A_1}} .\overline {H{A_2}} \].
Lời giải chi tiết
[h.111].
\[M[x ; y] \in [E] \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 ;\] \[ M{F_1} = a + ex , M{F_2} = a - ex\]
a] Ta có
\[\begin{array}{l}M{F_1}.M{F_2} + O{M^2}\\ = [a + ex][a - ex] + {x^2} + {y^2}\\= {a^2} - {e^2}{x^2} + {x^2} + {y^2}\\= {a^2} + {y^2} + {x^2}\left[ {1 - \dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}}} \right]\\= {a^2} + {y^2} + {b^2}. \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\\= {a^2} + {y^2} + {b^2}\left[ {1 - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}}} \right] = {a^2} + {b^2}.\end{array}\]
b]
\[\begin{array}{l}{[M{F_1} - M{F_2}]^2} = 4{e^2}{x^2}.[1]\\4[O{M^2} - {b^2}] = 4[{x^2} + {y^2} - {b^2}]\\ = 4.\left[ {{x^2} + \left[ {{b^2} - \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}{x^2}} \right] - {b^2}} \right]\\= 4{x^2}\left[ {1 - \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \right] = 4{e^2}{x^2}.[2]\end{array}\]
Từ [1] và [2] suy ra \[{[M{F_1} - M{F_2}]^2} = 4[O{M^2} - {b^2}]\].
c]
\[\begin{array}{l}H{M^2} = {y^2}.\\ - \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}\overline {H{A_1}} .\overline {H{A_2}}\\ = - \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}[ - a - x][a - x] \\= \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}[{a^2} - {x^2}] = {b^2} - \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}{x^2}\\= {b^2} - [{b^2} - {y^2}] = {y^2}\\ \Rightarrow H{M^2} = - \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}\overline {H{A_1}} .\overline {H{A_2}} .\end{array}\]