- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Giải các phương trình sau :
LG a
\[{x^2} - \left| {2{ {x}} - 1} \right| = 0\]
Phương pháp giải:
Bước 1: Xét từng khoảng của \[x\] để phá dấu giá trị tuyệt đối
Bước 2: Giải phương trình tương ứng
Bước 3: Đối chiếu nghiệm với khoảng đang xét
Bước 4: Kết luận tập nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Trường hợp 1: \[ x \ge \dfrac 1 2 \]
Ta có: \[2{x} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow\left| {2{ {x}} - 1} \right| = 2{x} - 1\]
Khi đó phương trình trở thành:
\[\begin{array}{l}
{x^2} - \left[ {2x - 1} \right] = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {\left[ {x - 1} \right]^2} = 0\\
\Leftrightarrow x = 1[\text {Thỏa mãn}]
\end{array}\]
Trường hợp 2: \[ x < \dfrac 1 2 \]
Ta có: \[2{x} - 1 < 0 \Leftrightarrow\left| {2{ {x}} - 1} \right| = - [2{x} - 1]\]
Khi đó phương trình trở thành:
\[\begin{array}{l}
{x^2} - \left[ { - \left[ {2x - 1} \right]} \right] = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} + 2x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1 + \sqrt 2 \;[t/m]\\
x = - 1 - \sqrt 2 \;\;[t/m]
\end{array} \right.
\end{array}\]
Vậy tập nghiệm của phương trình là\[S = \left\{ {1; - 1 \pm \sqrt 2 } \right\}\]
LG b
\[\left| {{x^2} - 2{ {x}} - 3} \right| = {x^2} - 2{ {x}} + 5\]
Phương pháp giải:
Bước 1: Xét từng khoảng của \[x\] để phá dấu giá trị tuyệt đối
Bước 2: Giải phương trình tương ứng
Bước 3: Đối chiếu nghiệm với khoảng đang xét
Bước 4: Kết luận tập nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Trường hợp 1:
\[{x^2} - 2x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 3} \right] \ge 0 \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ge 3}\\
{x \le - 1}
\end{array}} \right.\]
Khi đó PT trở thành:
\[\begin{array}{l}
{x^2} - 2x - 3 = {x^2} - 2x + 5\\
\Leftrightarrow - 3 = 5 \, [\text {Vô lí}]
\end{array}\]
Trường hợp 2: \[{x^2} - 2x - 3 < 0 \Leftrightarrow \left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 3} \right] < 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 3\]
Khi đó PT trở thành:
\[\begin{array}{l}
- \left[ {{x^2} - 2x - 3} \right] = {x^2} - 2x + 5\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 + {x^2} - 2x + 5 = 0\\
\Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 2 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {\left[ {x - 1} \right]^2} = 0\\
\Leftrightarrow x = 1 \, [\text{thỏa mãn}]
\end{array}\]
Vậy PT có nghiệm duy nhất \[x=1\].
LG c
\[\left| {2{ {x}} - 3} \right| = \left| {x - 1} \right|\]
Phương pháp giải:
\[\left| A \right|{\rm{ }} = \left| B \right|\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{A = B}\\
{A = - B}
\end{array}} \right.\]
Hoặc:\[\left| A \right|{\rm{ }} = \left| B \right|\; \Leftrightarrow {A^2} = {B^2}\]
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
Ta có:
\[\left| {2x - 3} \right| = \left| {x - 1} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x - 3 = x - 1\\
2x - 3 = - \left[ {x - 1} \right]
\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x - 3 = x - 1\\
2x - 3 = - x + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x - x = 3 - 1\\
2x + x = 3 + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
3x = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = \frac{4}{3}
\end{array} \right.
\end{array}\]
Cách 2:
Ta có: \[\left| {2{ {x}} - 3} \right| = \left| {x - 1} \right| \Leftrightarrow{\left[ {2{ {x}} - 3} \right]^2} = {\left[ {{ {x}} - 1} \right]^2}.\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 4{x^2} - 12x + 9 = {x^2} - 2x + 1\\
\Leftrightarrow 3{x^2} - 10x + 8 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = \frac{4}{3}
\end{array} \right.
\end{array}\]
LG d
\[\left| {{x^2} - 2{ {x}} - 3} \right| = 2\]
Phương pháp giải:
\[\left| A \right| = a \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
A = a\\
A = - a
\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết:
\[x = 1 \pm \sqrt 6 ,x = 1 \pm \sqrt 2 .\]
Phương trình đã cho tương đương:
\[\left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 2x - 3 = 2\\
{x^2} - 2x - 3 = - 2
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 2x - 5 = 0\\
{x^2} - 2x - 1 = 0
\end{array} \right.\]
Mà:\[{x^2} - 2x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt 6 \]
Và:\[{x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt 2 \]
Vậy tập nghiệm của PT là\[S = \left\{ {1 \pm \sqrt 2 ;\;1 \pm \sqrt 6 } \right\}\]