Đề bài
Chứng minh rằng nếu \[\sin \left[ {\alpha - \beta } \right] = \dfrac{1}{3}\sin \beta ,\] thì \[\tan \left[ {\alpha - \beta } \right] = \dfrac{{\sin \alpha }}{{3 + \cos \alpha }}.\]
Lời giải chi tiết
\[\begin{array}{l}3\sin \left[ {\alpha - \beta } \right] = \sin \left[ {\beta - \alpha + \alpha } \right]\\ = \sin \alpha \cos \left[ {\alpha - \beta } \right] - \sin \left[ {\alpha - \beta } \right]\cos \alpha \end{array}\]
từ đó ta có
\[\left[ {3 + \cos \alpha } \right]\sin \left[ {\alpha - \beta } \right] = \sin \alpha \cos \left[ {\alpha - \beta } \right]\,\,\,\left[ * \right]\] vậy \[\tan \left[ {\alpha - \beta } \right] = \dfrac{{\sin \alpha }}{{3 + \cos \alpha }}.\]
[Chú ý. \[\cos \left[ {\alpha - \beta } \right] \ne 0\] vì nếu \[\cos \left[ {\alpha - \beta } \right] = 0\] thì từ [*] ta suy ra \[\sin \left[ {\alpha - \beta } \right] = 0\], vô lí].