Đề bài
Cho tam giác nhọn ABC, kẻ trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM, đường thẳng CI cắt AB tại E. Từ M kẻ đường thẳng song song với CE cắt AB tại F. Chứng minh rằng:
a] EF = FB;
b] \[AE = {1 \over 3}AB\]
c] CE = 4EI.
Lời giải chi tiết
a] Xét tam giác BEC có: MF // EC [gt]
Và M là trung điểm của BC [gt]
\[ \Rightarrow F\] là trung điểm của BE \[ \Rightarrow EF = BF\]
b] Xét tam giác AMF có: EI // MF [gt]
Và I là trung điểm của AM [gt]
\[ \Rightarrow E\] là trung điểm của AF \[ \Rightarrow AE = EF\]
Mà \[EF = BF\] nên \[AE = EF = BF \Rightarrow AE = {1 \over 3}AB\]
c] Xét tam giác EBC ta có:
M là trung điểm của BC [gt];
F là trung điểm của BE;
\[ \Rightarrow MF\] là đường trung bình của tam giác EBC \[ \Rightarrow MF = {1 \over 2}EC\]
Xét \[\Delta AMF\] ta có:
E là trung điểm của AF [gt];
I là trung điểm của AM [gt];
\[ \Rightarrow EI\] là đường trung bình của tam giác AMF
\[ \Rightarrow EI = {1 \over 2}MF\]
Mà \[MF = {1 \over 2}EC\]
\[ \Rightarrow EI = {1 \over 2}.{1 \over 2}EC = {1 \over 4}EC \Rightarrow EC = 4EI\]