Đề bài
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA và I , K lần lượt là trung điểm các đường chép AC và BD. Chứng minh:
a] Các tứ giác MNPQ, INKQ là hình bình hành.
b] Các đường thẳng MP, NQ, IK đồng quy.
Lời giải chi tiết
a] Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC
\[ \Rightarrow MN\] là đường trung bình của tam giác ABC \[ \Rightarrow MN//AC\] và \[MN = {1 \over 2}AC\,\,\,\left[ 1 \right]\]
Q, P là trung điểm của AD và DC
\[ \Rightarrow QP\] là đường trung bình của tam giác ADC \[ \Rightarrow QP//AC\] và \[QP = {1 \over 2}AC\,\,\,\left[ 2 \right]\]
Từ [1] và [2] suy ra \[MN//QP\] và \[MN = QP\]
\[ \Rightarrow MNPQ\] là hình bình hành [dấu hiệu nhận biết]
Ta có: Q, I lần lượt là trung điểm của AC và AC
\[ \Rightarrow QI\] là đường trung bình của tam giác ADC \[ \Rightarrow QI//DC\] và \[QI = {1 \over 2}DC\,\,\,\left[ 3 \right]\]
K, N lần lượt là trung điểm của DB và BC
\[ \Rightarrow KN\] là đường trung bình của tam giác DBC
\[ \Rightarrow KN//DC\] và \[KN = {1 \over 2}DC\,\,\left[ 4 \right]\]
Từ [3] và [4] suy ra \[QI//KN\] và \[QI = KN\[.
\[ \Rightarrow INKQ\] là hình bình hành [dấu hiệu nhận biết]
b] Gọi G là giao điểm của MP và NQ [5]
Mà MP và NQ là hai đường chéo của hình bình hành MNPQ
Nên G là trung điểm của QN
Tứ giác INKQ là hình bình hành có G là trung điểm của QN
\[ \Rightarrow G\] là trung điểm của IK \[ \Rightarrow IK\] đi qua G [6]
Từ [5], [6] suy ra MP, NQ, IK đồng quy.