Đề bài
Tính :
a] \[\dfrac{1}{{2 - \sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{2 + \sqrt 5 }}\];
b] \[\dfrac{3}{2}\sqrt 6 + 2\sqrt {\dfrac{2}{3}} - 4\sqrt {\dfrac{3}{2}} \];
c] \[\dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }} - \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}\].
d] \[\left[ {2 + \dfrac{{\sqrt 5 - 5}}{{1 - \sqrt 5 }}} \right]\left[ {2 - \dfrac{{\sqrt 5 + 5}}{{\sqrt 5 + 1}}} \right]\]
e] \[\dfrac{2}{{\sqrt 3 - 1}} + \dfrac{3}{{\sqrt 3 - 2}} + \dfrac{{12}}{{3 - \sqrt 3 }}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu:\[\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \sqrt {\dfrac{{A.B}}{{{B^2}}}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B},\]\[\;\;A\sqrt {\dfrac{B}{A}} = \sqrt {\dfrac{{{A^2}.B}}{A}} = \sqrt {AB} .\]
+] \[\dfrac{C}{{\sqrt A \pm B}} = \dfrac{{C\left[ {\sqrt A \mp B} \right]}}{{A - {B^2}}};\]\[\;\;\dfrac{C}{{\sqrt A \pm \sqrt B }} = \dfrac{{C\left[ {\sqrt A \mp \sqrt B } \right]}}{{A - B}}.\]
+] Quy đồng mẫu các phân thức rồi cộng các phân thức với nhau.
Lời giải chi tiết
\[a]\;\dfrac{1}{{2 - \sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{2 + \sqrt 5 }} \]
\[= \dfrac{{2 + \sqrt 5 + 2 - \sqrt 5 }}{{\left[ {2 - \sqrt 5 } \right]\left[ {2 + \sqrt 5 } \right]}} \]
\[= \dfrac{4}{{4 - 5}} = - 4.\]
\[\begin{array}{l}b]\;\;\dfrac{3}{2}\sqrt 6 + 2\sqrt {\dfrac{2}{3}} - 4\sqrt {\dfrac{3}{2}}\\ = \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2} + \dfrac{{2\sqrt {2.3} }}{3} - \dfrac{{4\sqrt {2.3} }}{2}\\ = \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2} + \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3} - 2\sqrt 6 = \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}.\end{array}\]
\[\begin{array}{l}c]\;\dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }} - \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }} \\ = \dfrac{{{{\left[ {2 + \sqrt 3 } \right]}^2} - {{\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]}^2}}}{{\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]\left[ {2 + \sqrt 3 } \right]}}\\ = \dfrac{{4 + 4\sqrt 3 + 3 - \left[ {4 - 4\sqrt 3 + 3} \right]}}{{4 - 3}}\\ = \dfrac{{8\sqrt 3 }}{1} = 8\sqrt 3 .\end{array}\]
\[\begin{array}{l}d]\;\;\left[ {2 + \dfrac{{\sqrt 5 - 5}}{{1 - \sqrt 5 }}} \right]\left[ {2 - \dfrac{{\sqrt 5 + 5}}{{\sqrt 5 + 1}}} \right]\\ = \left[ {2 + \dfrac{{\sqrt 5 \left[ {1 - \sqrt 5 } \right]}}{{1 - \sqrt 5 }}} \right]\left[ {2 - \dfrac{{\sqrt 5 \left[ {\sqrt 5 + 1} \right]}}{{\sqrt 5 + 1}}} \right]\\ = \left[ {2 + \sqrt 5 } \right]\left[ {2 - \sqrt 5 } \right] = 4 - 5 = - 1.\end{array}\]
\[\begin{array}{l}e]\frac{2}{{\sqrt 3 - 1}} + \frac{3}{{\sqrt 3 - 2}} + \frac{{12}}{{3 - \sqrt 3 }}\\ = \frac{{2\left[ {\sqrt 3 + 1} \right]}}{{3 - 1}} + \frac{{3\left[ {\sqrt 3 + 2} \right]}}{{3 - 4}} + \frac{{12\left[ {3 + \sqrt 3 } \right]}}{{9 - 3}}\\ = \frac{{2\left[ {\sqrt 3 + 1} \right]}}{2} + \frac{{3\left[ {\sqrt 3 + 2} \right]}}{{ - 1}} + \frac{{12\left[ {3 + \sqrt 3 } \right]}}{6}\\ = \sqrt 3 + 1 - 3\sqrt 3 - 6 + 6 + 2\sqrt 3 \\ = 1\end{array}\]