Đề bài
Cho tam giác đều \[ABC.\] Lấy các điểm \[D, E, F\] theo thứ tự thuộc các cạnh \[AB, BC, CA\] sao cho \[AD = BE = CF.\] Chứng minh rằng \[DEF\] là tam giác đều.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.
- Tính chất: Tam giác đều có ba góc bằng nhau và cùng bằng \[60^o\].
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[AB = AD + DB\] [1]
\[BC = BE + EC\] [2]
\[AC = AF + FC\] [3]
\[AB = AC = BC\] [vì tam giác ABC là tam giác đều] [4]
\[AD = BE = CF\] [gt] [5]
Từ [1], [2], [3], [4] và [5] suy ra:
\[BD = EC = AF\]
Xét \[ADF\] và \[BED\] có:
\[ AD = BE \] [gt]
\[\widehat A = \widehat B = 60^\circ \][vì \[ABC\] đều]
\[AF = BD\] [chứng minh trên]
\[ \Rightarrow ADF = BED \] [c.g.c]
\[ \Rightarrow DF = ED\] [hai cạnh tương ứng] [6]
Xét \[ADF\] và \[CFE\] có:
\[ AD = CF\] [gt]
\[\widehat A = \widehat C = 60^\circ \][vì \[ABC\] đều]
\[ AF=EC\] [chứng minh trên]
\[ \Rightarrow ADF = CFE\] [c.g.c]
\[ \Rightarrow DF = FE\] [hai cạnh tương ứng] [7]
Từ [6] và [7] suy ra: \[DF = ED = FE\].
Vậy \[DEF\] đều.