- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
- LG e
Trong không gian tọa độOxyzcho bốn điểm A[-2; 1; 2], B[0; 4; 1], C[5;1;-5], D[-2; 8; -5] và đường thẳng \[d:{{x + 5} \over 3} = {{y + 11} \over 5} = {{z - 9} \over { - 4}}.\]
LG a
Chứng minhA, B, C, Dlà bốn đỉnh của 1 tứ diện.
Lời giải chi tiết:
Ta có \[\overrightarrow {AB} = {\rm{ }}\left[ {2{\rm{ }};{\rm{ }}3{\rm{ }};{\rm{ }} - 1} \right],\overrightarrow {AC} = {\rm{ }}\left[ {7{\rm{ }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }} - 7} \right],\]suy ra
\[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left[ {\left| {\matrix{ 3 & { - 1} \cr 0 & { - 7} \cr } } \right|;\left| {\matrix{ { - 1} & 2 \cr { - 7} & 7 \cr } } \right|;\left| {\matrix{ 2 & 3 \cr 7 & 0 \cr } } \right|} \right] \]
\[= [ - 21;7; - 21].\]
Lại có \[\overrightarrow {AD} = {\rm{ }}\left[ {0{\rm{ }};{\rm{ }}7{\rm{ }};{\rm{ }} - 7} \right]\]nên \[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = {\rm{ }}49{\rm{ }} + {\rm{ }}147 \ne 0\]
Do đóA, B, C, Dlà các đỉnh của một tứ diện.
LG b
Tính thể tích khối tứ diệnABCD.
Lời giải chi tiết:
\[{V_{ABCD}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = {{196} \over 6} = {{98} \over 3}.\]
LG c
Viết phương trình mặt cầu[S]ngoại tiếp tứ diệnABCD
Lời giải chi tiết:
Gọi \[I[x{\rm{ }};y;z]\] là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, ta có :
\[\left\{ \matrix{ I{A^2} = I{B^2} \hfill \cr {IA^2} = I{C^2} \hfill \cr {IA^2} = I{D^2}. \hfill \cr} \right.\]
Từ đó suy ra \[x = - 2,y = 1,z{\rm{ }} = - 5.\]Vậy \[I = {\rm{ }}\left[ { - 2{\rm{ }};{\rm{ }}1; - 5} \right]\] vàR=IA= 7.
Do đó, mặt cầu [S] ngoại tiếp tứ diệnABCDcó phương trình :
\[\left[ S \right]{\rm{ }}:{\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right]^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{[y - {\rm{ }}1]^2} + {[z{\rm{ }} + 5]^2} = {\rm{ }}49.\]
LG d
Tìm tọa độ các giao điểmM, Ncủa đường thẳng d với mặt cầu[S].
Lời giải chi tiết:
Dạng tham số của đường thẳngdlà :
\[\left\{ \matrix{ x{\rm{ }} = - 5{\rm{ }} + {\rm{ }}3t \hfill \cr y = {\rm{ }} - 11{\rm{ }} + 5t \hfill \cr z = {\rm{ }}9{\rm{ }} - 4t. \hfill \cr} \right.\]
Toạ độ \[\left[ {x;y;{\rm{ }}z} \right]\] của giao điểm củadvà [S] thoả mãn hệ :
\[\left\{ \matrix{ x{\rm{ }} = - 5{\rm{ }} + {\rm{ }}3t \hfill \cr y = {\rm{ }} - 11{\rm{ }} + 5t \hfill \cr z = {\rm{ }}9{\rm{ }} - 4t. \hfill \cr {\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right]^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{[y - {\rm{ }}1]^2} + {[z{\rm{ }} + 5]^2} = {\rm{ }}49. \hfill \cr} \right.\]
\[\eqalign{ & = > {\left[ {3t{\rm{ }} - {\rm{ }}3} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {5t - {\rm{ }}12} \right]^2} + {[ - {\rm{ }}4t + 14]^2} = 49 \cr & \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 2 \hfill \cr t = 3. \hfill \cr} \right. \cr} \]
+] Khit= 2 thì \[x = {\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}y{\rm{ }} = - 1{\rm{ }};{\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}1\], ta được điểm \[M\left[ {1{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right].\]
+] Khit= 3 thì \[x{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }};y = {\rm{ }}4{\rm{ }};{\rm{ }}z{\rm{ }} = - 3\], ta được điểm \[N\left[ {4{\rm{ }};{\rm{ }}4{\rm{ }}; - 3} \right].\]
Vậy cắt [S] tại hai điểm \[M\left[ {1{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right].\] và \[N\left[ {4{\rm{ }};{\rm{ }}4{\rm{ }}; - 3} \right].\]
LG e
Viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu[S] tại M, N. Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng đó.
Lời giải chi tiết:
Gọi [P] là mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu [S] tạiM.Khi đó, [P] đi qua điểm \[M\left[ {1{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right].\] và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_p}} = \overrightarrow {IM} = {\rm{ }}\left[ {3{\rm{ }}; - 2{\rm{ }};{\rm{ }}6} \right].\]
Vậy phương trình của [P] là:
\[3\left[ {x{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right]{\rm{ }} - 2[y{\rm{ }} + 1]{\rm{ }} + {\rm{ }}6\left[ {z{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
\[\Leftrightarrow3x - 2y + 6z - 11 = 0.\]
Gọi [Q] là mặt phẳng tiếp xúc với [S] tạiN.Khi đó, mp[Q] đi qua điểm \[N\left[ {4{\rm{ }};{\rm{ }}4{\rm{ }}; - 3} \right]\] và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow {IN} = \left[ {6{\rm{ }};{\rm{ }}3{\rm{ }};{\rm{ }}2} \right].\]
Vậy phương trình của [Q] là :
\[6[x - {\rm{ }}4] + 3\left[ {y{\rm{ }} - {\rm{ }}4} \right] + {\rm{ }}2\left[ {z{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right] = 0\]
\[\Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 30 = 0.\]
Gọi \[\varphi \]là góc giữa hai mặt phẳng [P] và [Q], ta có
\[\cos \varphi = {{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = {{\left| {18 - 6 + 12} \right|} \over {\sqrt {9 + 4 + 36} .\sqrt {36 + 9 + 4} }} = {{24} \over {49}}.\]