Đề bài
Với các giá trị nào của a, hàm số
\[f[x] =- {1 \over 3}{x^3} + 2{x^2} + [2a + 1]x - 3a + 2\]
nghịch biến trên \[\mathbb R\] ?
Lời giải chi tiết
Ta có: \[f'[x] = - {x^2} + 4x + 2a + 1\]
\[\Delta ' = 2a - 5;\Delta ' = 0 \Leftrightarrow a = - {5 \over 2}\]
+] Nếu \[a =- {5 \over 2}\] thì \[f'[x] = - {[x - 2]^2} \le 0\] với mọi \[x\in \mathbb R\], \[f'[x]=0\] chỉ tại điểm x = 2. Do đó hàm số nghịch biến trên \[\mathbb R\]
+] Nếu \[\Delta ' < 0\] thì phương trình \[f'[x] = 0\] có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{x_2}\] [giả sử \[{x_1} < {x_2}\]]. Dễ thấy hàm số f đồng biến trên khoảng \[\left[ {{x_1},{x_2}} \right]\]. Điều kiện đòi hỏi không được thỏa mãn.
+] Nếu \[\Delta ' < 0\], tức là \[a < - {5 \over 2}\] thì \[f[x] < 0\] với mọi \[x\in \mathbb R\]. Do đó hàm số nghịch biến trên \[\mathbb R\]
Vậy hàm số nghịch biến trên \[\mathbb R\]khi và chỉ khi \[a \le - {5 \over 2}\]