- LG a
- LG b
Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm:
LG a
\[{25^{x + 1}} - {5^{x + 2}} + m = 0\]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[{5^{x + 1}} = t\left[ {t > 0} \right]\] . Bài toán trở thành:
Tìm m để phương trình \[{t^2} - 5t + m = 0\] [1] có ít nhất một nghiệm dương.
Điều kiện để [1] có nghiệm là \[\Delta = 25 - 4m \ge 0\] hay \[m \le \dfrac{25}{4}\]. Gọi các nghiệm của [1] là \[{t_1}\] và \[{t_2}\left[ {{t_1} \le {t_2}} \right]\], theo hệ thức Vi-ét \[{t_1} + {t_2} = 5\] suy ra \[{t_2} > 0\]. Do đó nếu [1] có nghiệm thì luôn có nghiệm dương.
Suy ra phương trình [1] có ít nhất nghiệm dương \[\Leftrightarrow m \le \dfrac{25}{4}\]
Hay phương trình đã cho có nghiệm \[\Leftrightarrow m \le \dfrac{25}{4}\].
LG b
\[{\left[ {{1 \over 9}} \right]^x} - m.{\left[ {{1 \over 3}} \right]^x} + 2m + 1 = 0.\]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[{\left[ {{1 \over 3}} \right]^x} = t\left[ {t > 0} \right]\]. Bài toán trở thành
Tìm m để phương trình \[{t^2} - mt + 2m + 1 = 0\] [2] có ít nhất một nghiệm dương. Điều kiện để [2] có nghiệm là \[\Delta = {m^2} - 4\left[2 {m + 1} \right]\\ = {m^2} - 8m - 4 \ge 0\]
hay \[m \le 4 - 2\sqrt 5 \] hoặc \[m \ge 4 + 2\sqrt 5 \]
Gọi các nghiệm của [2] là \[{t_1}\] và \[{t_2}\left[ {{t_1} \le {t_2}} \right]\], theo hệ thức Vi-ét
\[{t_1} + {t_2} = m;{t_1}{t_2} = 2m + 1\]
- Với \[m \ge 4 + 2\sqrt 5 \] thì \[{t_1} + {t_2} = m \ge 4 + 2\sqrt 5 \] suy ra \[{t_2} > 0\]
- Với \[m < - {1 \over 2}\] thì \[{t_1}{t_2} < 0\] suy ra \[{t_2} > 0\]
- Với \[ - {1 \over 2} < m < 4 - 2\sqrt 5 \] thì \[{t_1} + {t_2} < 0\] và \[{t_1}{t_2} < 0\] suy ra \[{t_1} < {t_2} < 0\]
Vậy với \[m < - {1 \over 2}\] hoặc \[m \ge 4 + \sqrt 5 \] thì phương trình [2] có ít nhất nghiệm \[{t_2} > 0\], suy ra phương trình đã cho có nghiệm.
Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu trực tiếp với
\[\Delta = {m^2} - 8m - 4;S = m;P = 2m + 1\]