- LG a
- LG b
Cho hình chóp tam giácS.ABCvàMlà một điểm nằm trong tam giácABC. Các đường thẳng quaMsong song vớiSA, SB, SClần lượt cắt các mặt \[\left[ {BCS} \right],\left[ {CAS} \right],\left[ {ABS} \right]\] tạiA, B, C. Chứng minh rằng :
LG a
\[{{{V_{M.BCS}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{MA'} \over {SA}};\]
Lời giải chi tiết:
GọiNlà giao điểm củaMAvàBC. Khi đóS, A, Nthẳng hàng vì chúng cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left[ {SBC} \right]\] và \[\left[ {SA,A'M} \right]\].
GọiMM1vàAA1là các đường vuông góc hạ từMvàAxuống \[mp\left[ {SBC} \right]\] thì :
\[{{M{M_1}} \over {A{A_1}}} = {{MN} \over {AN}} = {{MA'} \over {SA}}.\]
Vậy \[{{{V_{M.BCS}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{{V_{M.BCS}}} \over {{V_{A.BCS}}}} = {{{1 \over 3}{S_{BCS}}.M{M_1}} \over {{1 \over 3}{S_{BCS}}A{A_1}}} = {{M{M_1}} \over {A{A_1}}} = {{MA'} \over {SA}}\]
LG b
\[{{MA'} \over {SA}} + {{MB'} \over {SB}} + {{MC'} \over {SC}}\] không đổi. Tìm tổng đó.
Lời giải chi tiết:
Chứng minh tương tự như câu a], ta có :
\[{{{V_{M.CAS}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{MB'} \over {SB}},{{{V_{M.ABS}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{MC'} \over {SC}}.\]
Vậy :
\[{{MA'} \over {SA}} + {{MB'} \over {SB}} + {{MC'} \over {SC}} = {{{V_{M.BCS}} + {V_{M.CAS}} + {V_{M.ABS}}} \over {{V_{S.ABC}}}} \]
\[= {{{V_{S.ABC}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = 1.\]