- LG a
- LG b
Cho sáu điểmA[a;0;0], B[0;b;0], C[0;0;c], A[a;0;0], B[0;b;0], C[0;0;c]vớiaa = bb = cc\[ \ne 0\] ;\[a \ne a',b \ne b',c \ne c'.\]
LG a
Chứng minh có một mặt cầu đi qua sáu điểm nói trên.
Lời giải chi tiết:
Trước hết ta xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đi qua bốn điểmA, A, B, C. GọiI[x;y;z]là tâm của mặt cầu đó, ta có \[IA{^2} =IA{'^2} = I{B^2} = I{C^2}\]
\[\eqalign{ & \Rightarrow \left\{ \matrix{ {[x - a]^2} + {y^2} + {z^2} = {[x - a']^2} + {y^2} + {z^2} \hfill \cr {[x - a]^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {[y - b]^2} + {z^2} \hfill \cr {[x - a]^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} + {[z - c]^2} \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ - 2ax + {a^2} = - 2a'x + a{'^2} \hfill \cr - 2ax + {a^2} = - 2by + {b^2} \hfill \cr - 2ax + {a^2} = - 2cz + {c^2} \hfill \cr} \right. \cr & \cr} \]
\[ \Rightarrow x = {{a + a'} \over 2} \Rightarrow y = {{{b^2} + aa'} \over {2b}}\] và \[z = {{{c^2} + aa'} \over {2c}}\]
Vậy \[I = \left[ {{{a + a'} \over 2};{{{b^2} + aa'} \over {2b}};{{{c^2} + aa'} \over {2c}}} \right]\]
GọiRlà bán kính mặt cầu, ta có :
\[\eqalign{ & {R^2} = I{B^2} \cr&= {\left[ {{{a + a'} \over 2}} \right]^2} + {\left[ {{{aa' - {b^2}} \over {2b}}} \right]^2} + {\left[ {{{{c^2} + aa'} \over {2c}}} \right]^2}. \cr & \cr} \]
Mặt khác :
\[ I{{B\,'}^2} = {\left[ {{{a + a'} \over 2}} \right]^2} + {\left[ {{{{b^2}{\rm{ + aa}}'} \over {2b}} - b'} \right]^2} + {\left[ {{{{c^2} + aa'} \over {2c}}} \right]^2} \]
\[ = {\left[ {{{a + a'} \over 2}} \right]^2} + {\left[ {{{{b^2} - aa'} \over {2b}}} \right]^2} + {\left[ {{{{c^2} + aa'} \over {2c}}} \right]^2} \][vì aa = bb]
\[ = IB^2 = {R^2}\]
Tương tự \[IC\,'{^2} = I{C^2} = {R^2}.\]
VậyB, Ccũng thuộc mặt cầu nói trên.
LG b
Chứng minh đường thẳng đi qua gốc tọa độOvà trọng tâm tam giácABCvuông góc với mặt phẳng[ABC].
Lời giải chi tiết:
Gọi G là trọng tâm \[\Delta ABC\], ta có \[\overrightarrow {OG} = \left[ {{a \over 3};{b \over 3};{c \over 3}} \right]\]
Để chứng minhOGvuông góc vớimp[ABC],ta chỉ cần chứng minh
\[\left\{ \matrix{ \overrightarrow {OG} .\overrightarrow {A'B'} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {OG} .\overrightarrow {A'C'} = 0 \hfill \cr} \right.\]
Vì \[\overrightarrow {A'B'} = [ - a';b';0],\overrightarrow {A'C'} = [ - a';0;c']\]
Nên \[ \overrightarrow {OG} .\overrightarrow {A'B'} = - {{aa'} \over 3} + {{bb'} \over 3} + 0 = 0 \]
\[\overrightarrow {OG} .\overrightarrow {A'C'} = - {{aa'} \over 3} + 0 + {{cc'} \over 3} = 0\] [đpcm].