- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
- LG e
- LG g
Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng
\[\eqalign{ & [\alpha ]:2x - y + 3z + 1 = 0, \cr & [\alpha ']:x - y + z + 5 = 0 \cr} \]
Và điểm M[1; 5; 0].
LG a
Chứng minh \[[\alpha ]\] và \[[\alpha ']\] cắt nhau. Tính góc giữa\[[\alpha ]\] và \[[\alpha ']\].
Lời giải chi tiết:
Vì \[\overrightarrow {{n_\alpha }} = {\rm{ }}\left[ {2{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}3} \right],\overrightarrow {{n_{\alpha '}}} = {\rm{ }}\left[ {1{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right]\] nên \[\overrightarrow {{n_\alpha }} \] và \[\overrightarrow {{n_{\alpha '}}} \] không cùng phương, do đó hai mặt phẳng [\[\alpha \]] và [\[\alpha '\]] cắt nhau.
Gọi \[\varphi \] là góc giữa hai mặt phẳng đó, ta có :
\[\cos \varphi = {{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} .\overrightarrow {{n_{\alpha '}}} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{\alpha '}}} } \right|}}\]
\[= {{\left| {2.1 + \left[ { - 1} \right].\left[ { - 1} \right] + 3.1} \right|} \over {\sqrt {4 + 1 + 9} .\sqrt {1 + 1 + 1} }} = {6 \over {\sqrt {14} .\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt {14} }}\]
LG b
Viết phương trình tham số của giao tuyến \[\Delta \] của \[[\alpha ]\] và \[[\alpha ']\].
Lời giải chi tiết:
\[M[x;y\;;z]\] thuộc \[\Delta \] khi và chỉ khi toạ độ của M thoả mãn hệ phương trình :
\[\left\{ \matrix{ 2x{\rm{ }} - y + {\rm{ }}3z{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \hfill \cr x{\rm{ }} - y + z + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0. \hfill \cr} \right.\]
Đặt z = t, ta có
\[\left\{ \matrix{ 2x{\rm{ }} - y = {\rm{ }} - 1{\rm{ }} - 3t{\rm{ }} \hfill \cr x{\rm{ }} - y = {\rm{ }} - 5{\rm{ }} - t \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = 4 - 2t \hfill \cr y = 9 - t. \hfill \cr} \right.\]
Vậy phương trình tham số của đường thẳng \[\Delta \] là
\[\left\{ \matrix{ x{\rm{ }} = 4{\rm{ }} - 2t{\rm{ }} \hfill \cr {\rm{y }} = {\rm{ }}9 - t \hfill \cr z{\rm{ }} = {\rm{ }}t. \hfill \cr} \right.\]
LG c
Gọi hình chiếu của M trên mp \[[\alpha ]\], K là hình chiếu của M trên mp \[[\alpha ']\]. Tính độ dài đoạn HK.
Lời giải chi tiết:
Vì H là giao điểm của đường thẳng đi qua M, vuông góc với \[\left[ \alpha \right]\]nên toạ độ \[[x{\rm{ }};y;{\rm{ }}z]\] của H thoả mãn hệ :
\[\left\{ {\matrix{ {x{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}2t} \hfill \cr {y{\rm{ }} = {\rm{ }} - t} \hfill \cr {z{\rm{ }} = {\rm{ }}5{\rm{ }} + {\rm{ }}3t} \hfill \cr {2x{\rm{ }} - y + {\rm{ }}3z{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = 0} \hfill \cr } } \right. \]
\[\Rightarrow t = - {9 \over 7} \Rightarrow H = \left[ { - {{11} \over 7};{9 \over 7};{8 \over 7}} \right].\]
Vì K là giao điểm của đường thẳng đi qua M, vuông góc với \[\left[ {\alpha '} \right]\] nên toạ độ \[[x{\rm{ }};y;{\rm{ }}z]\] của K thoả mãn hệ :
\[\left\{ {\matrix{ {x{\rm{ }} = 1 + {\rm{ }}t} \hfill \cr {y{\rm{ }} = - t} \hfill \cr {z{\rm{ }} = 5 + {\rm{ }}t} \hfill \cr {x{\rm{ }} - {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}z + 5 = 0} \hfill \cr } } \right. \]
\[\Rightarrow t = - {{11} \over 3} \Rightarrow K = \left[ { - {8 \over 3};{{11} \over 3};{4 \over 3}} \right].\]
Vậy \[HK = \sqrt {{{\left[ { - {8 \over 3} + {{11} \over 7}} \right]}^2} + {{\left[ {{{11} \over 3} - {9 \over 7}} \right]}^2} + {{\left[ {{4 \over 3} - {8 \over 7}} \right]}^2}} \]
\[ = \sqrt {{{\left[ {{{23} \over {21}}} \right]}^2} + {{\left[ {{{50} \over {21}}} \right]}^2} + {{\left[ {{4 \over {21}}} \right]}^2}} = {{\sqrt {3045} } \over {21}}.\]
LG d
Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \[\Delta \]
Lời giải chi tiết:
\[\Delta \] là đường thẳng đi qua \[{M_o}\left[ {4{\rm{ }};{\rm{ }}9{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right]\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ { - 2; - 1;1} \right].\]
Ta có \[\overrightarrow {{M_o}M} = {\rm{ }}\left[ { - 3{\rm{ }};{\rm{ }} - 9{\rm{ }};{\rm{ }}5} \right],\] suy ra
\[\left[ {\overrightarrow {{M_o}M} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left[ {\left| {\matrix{ { - 9} & 5 \cr { - 1} & 1 \cr } } \right|;\left| {\matrix{ 5 & { - 3} \cr 1 & { - 2} \cr } } \right|;\left| {\matrix{ { - 3} & { - 9} \cr { - 2} & { - 1} \cr } } \right|} \right] \]
\[= {\rm{ }}\left[ { - 4{\rm{ }};{\rm{ }} - 7{\rm{ }};{\rm{ }} - 15} \right].\]
Vậy
\[d[M,\Delta ]{\rm{ }} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {{M_o}M} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}} \]
\[= \;{{\sqrt {{{\left[ { - 4} \right]}^2} + {\rm{ }}{{\left[ { - 7} \right]}^2} + {\rm{ }}{{\left[ { - 15} \right]}^2}\;} } \over {\sqrt {\;{{\left[ { - 2} \right]}^2} + {\rm{ }}{{\left[ { - 1} \right]}^2} + {1^2}} }} = {{\sqrt {145} } \over {\sqrt 3 }}.\]
LG e
Viết phương trình đường thẳng đi qua M , vuông góc với \[\Delta \] và cắt \[\Delta \].
Lời giải chi tiết:
Gọi [\[\beta \]] là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với \[\Delta \]. Phương trình của [\[\beta \]] là
\[ - 2[x{\rm{ }} - 1]{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }}\left[ {y{\rm{ }} - {\rm{ }}0} \right]{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }}\left[ {z{\rm{ }} - {\rm{ }}5} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
hay \[2x{\rm{ }} + {\rm{ }}y - {\rm{ }}z{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\]
Gọi J[x ; y ; z] là giao điểm của đường thẳng \[\Delta \] với mặt phẳng [\[\beta \]].
Toạ độ của J thoả mãn hệ
\[\left\{ {\matrix{ \matrix{ x = {\rm{ }}4{\rm{ }} - 2t{\rm{ }} \hfill \cr {\rm{y }} = {\rm{ }}9{\rm{ }} - t \hfill \cr {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}t \hfill \cr} \hfill \cr {2x{\rm{ }} + {\rm{ }}y - {\rm{ }}z{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0} \hfill \cr } } \right.\]
\[\Rightarrow t = {{10} \over 3} \Rightarrow J = \left[ { - {8 \over 3};{{17} \over 3};{{10} \over 3}} \right].\]
MJ chính là đường thẳng qua M, vuông góc và cắt đường thẳng \[\Delta \]; nó có phương trình chính tắc là
\[{{x - 1} \over {11}} = {y \over { - 17}} = {{z - 5} \over 5}.\]
LG g
Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của \[[\alpha ]\] ,\[[\alpha ']\] và vuông góc với mặt phẳng [P]:3x - y + 1=0.
Lời giải chi tiết:
Gọi [R] là mặt phẳng qua \[\Delta \] [giao tuyến của \[\left[ \alpha \right]\] và \[\left[ {\alpha '} \right]\]] và vuông góc với mp[P]: \[3x{\rm{ }} - y + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\] Mặt phẳng [P] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_P}} = {\rm{ }}\left[ {3{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right].\]
Khi đó [R] đi qua điểm Mơ= [4 ; 9 ; 0] và có vectơ pháp tuyến
\[\overrightarrow {{n_R}} = \left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] \]
\[= \left[ {\left| {\matrix{ { - 1} & 1 \cr { - 1} & 0 \cr } } \right|;\left| {\matrix{ 1 & { - 2} \cr 0 & 3 \cr } } \right|;\left| {\matrix{ { - 2} & { - 1} \cr 3 & { - 1} \cr } } \right|} \right]\]
\[= \left[ {1;3;5} \right].\]
Vậy phương trình của mp[R] là
\[1[x{\rm{ }} - 4]{\rm{ }} + {\rm{ }}3\left[ {y{\rm{ }} - {\rm{ }}9} \right]{\rm{ }} + {\rm{ }}5\left[ {z{\rm{ }} - {\rm{ }}0} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
\[\Leftrightarrow x + {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}5z{\rm{ }} - {\rm{ }}31{\rm{ }} = 0.\]