97 sgk trang 105 toán 9 tập 2 năm 2024

Bài 96. Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O)\) và tia phân giác của góc \(A\) cắt đường tròn tại \(M\). Vẽ đường cao \(AH\). Chứng minh rằng:

1. \(OM\) đi qua trung điểm của dây \(BC\).

2. \(AM\) là tia phân giác của góc \(OAH\).

Hướng dẫn trả lời:

1. Vì \(AM\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên \(\widehat {BAM} = \widehat {MAC}\)

Mà \(\widehat {BAM}\) và \(\widehat {MAC}\) đều là góc nội tiếp của \((O)\) nên

\(\overparen{BM}\)=\(\overparen{MC}\)

⇒ \(M\) là điểm chính giữa cung \(BC\)

Vậy \(OM \bot BC\) và \(OM\) đi qua trung điểm của \(BC\)

2. Ta có : \(OM \bot BC\) và \(AH\bot BC\) nên \(AH//OM\)

\( \Rightarrow \widehat {HAM} = \widehat {AM{\rm{O}}}\) (so le trong) (1)

Mà \(∆OAM\) cân tại \(O\) nên \(\widehat {AM{\rm{O}}} = \widehat {MAO}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {HA{\rm{M}}} = \widehat {MAO}\)

Vậy \(AM\) là đường phân giác của góc \(OAH\)

Bài 97 trang 105 SGK Toán 9 tập 2

Bài 97. Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\). Trên \(AC\) lấy một điểm \(M\) và vẽ đường tròn đường kính \(MC\). Kẻ \(BM\) cắt đường tròn tại \(D\). Đường thẳng \(DA\) cắt đường tròn tại \(S\). Chứng minh rằng:

1. \(ABCD\) là một tứ giác nội tiếp;

2. \(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{D}}}\) ;

3. \(CA\) là tia phân giác của góc \(SCB\)

Hướng dẫn trả lời:

1. Ta có góc \(\widehat {MDC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \((O)\) nên \(\widehat {MDC} = {90^0}\)

⇒ \(∆CDB\) là tam giác vuông nên nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\) .

Ta có \(∆ABC\) vuông tại \(A\).

Do đó \(∆ABC\) nội tiếp trong đường tròn tâm \(I\) đường kính \(BC\).

Ta có \(A\) và \(D\) cùng nhìn \(BC\) dưới một góc \(90^0\) không đổi nên tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\)

2. Ta có \(\widehat {AB{\rm{D}}}\) là góc nội tiếp trong đường tròn \((I)\) chắn cung \(AD\).

Tương tự góc \(\widehat {AC{\rm{D}}}\) là góc nội tiếp trong đường tròn \((I)\) chắn cung \(AD\)

Vậy \(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{D}}}\)

3. Ta có:

\(\widehat {S{\rm{D}}M} = \widehat {SCM}\) (vì góc nội tiếp cùng chắn cung \(MS\) của đường tròn \((O)\))

\(\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {ACB}\) (là góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\) của đường tròn \((I)\)

Mà \(\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {S{\rm{D}}M} \Rightarrow \widehat {SCM} = \widehat {ACB}\)

Vậy tia \(CA\) là tia phân giác của góc \(SCB\)

Bài 98 trang 105 SGK Toán 9 tập 2

Bài 98. Cho đường tròn \((O)\) và một điểm \(A\) cố định trên đường tròn. Tìm quỹ tích các trung điểm \(M\) của dây \(AB\) khi điểm \(B\) di động trên đường tròn đó.

Hướng dẫn trả lời:

+) Phần thuận: Giả sử \(M\) là trung điểm của dây \(AB\). Do đó, \(OM \bot AB\). Khi \(B\) di động trên đường tròn \((O)\) điểm \(M\) luôn nhìn đoạn \(OA\) cố định dưới một góc vuông. Vậy quỹ tích của điểm \(M\) là đường tròn tâm \(I\) đường kính \(OA\).

+) Phần đảo: Lấy điểm \(M’\) bất kì trên đường tròn \((I)\). Nối \(M’\) với \(A\), đường thẳng \(M’A\) cắt đường tròn \((O)\) tại \(B’\). Nối \(M’\) với \(O\), ta có \(\widehat {AM'O} = {90^0}\) hay \(OM’ \bot AB’ \)

⇒ \(M\) là trung điểm của \(AB’\)

Kết luận: Tập hợp các trung điểm \(M\) của dây \(AB\) là đường tròn đường kính \(OA\).

Bài 99 trang 105 SGK Toán 9 tập 2

Bài 99. Dựng \(ΔABC\), biết \(BC = 6cm\), góc \(\widehat{BAC} = 80^0\), đường cao \(AH\) có độ dài là \(2cm\).

Hướng dẫn trả lời:

Cách dựng như sau:

- Đầu tiên dựng đoạn \(BC = 6cm\)

- Dựng cung chứa góc \(80^0\) trên đoạn \(BC\).

- Dựng đường thằng \(xy // BC\) và cách \(BC\) một khoảng là \(2cm\). Đường thẳng \(xy\) cắt cung chứa góc \(80^0\) tại hai điểm \(A\) và \(A’\)

Các đường cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H (góc C khác 90o) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D và E.

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 9 tất cả các môn

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa - GDCD

Đề bài

Các đường cao hạ từ \(A\) và \(B\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H\) (góc \(C\) khác \(90^0\)) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) lần lượt tại \(D\) và \(E\). Chứng minh rằng:

1. \(CD = CE\) ; b) \(ΔBHD\) cân ; c) \(CD = CH\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

1. Sử dụng: “Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau” và hai góc phụ nhau từ đó suy ra hai cung bằng nhau và hai dây bằng nhau.

2. Chứng minh tam giác BHD có BK vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên nó là tam giác cân

3. Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng

Lời giải chi tiết

1. Gọi K là giao điểm của BC và AD

Gọi I là giao điểm của BE và AC

Cách 1:

Ta có: \(\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {A{\rm{E}}B}\) (1) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\))

\(\widehat {DBC} + \widehat {ADB} = {90^0}\) (2) (do tam giác BDK vuông tại K)

\(\widehat {AEB} + \widehat {CAE} = {90^0}\) (3) (do tam giác AIE vuông tại I)

Từ (1), (2), (3) \( \Rightarrow \widehat {CB{\rm{D}}} = \widehat {CA{\rm{E}}}\) (cùng phụ với hai góc bằng nhau)

Có \(\widehat {CBD}\) là góc nội tiếp chắn cung CD

\(\widehat {EAC}\) là góc nội tiếp chắn cung CE

⇒ \(sđ\overparen{CD}\)= \(sđ\overparen{CE}\)

Suy ra \(CD = CE\)

Cách 2:

Vì \(BC \bot AD\) nên \(\widehat{AKB}=90^0\)

Lại có \(\widehat{AKB}\) là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn cung AB và CD nên

\(\widehat{AKC}=\dfrac{sđ\overparen {DC}+sđ \overparen {BA}}{2}=90^0\)

Suy ra \(sđ\overparen {AB}+sđ \overparen {CD}=180^0\) (1)

Vì \(BE \bot AC\) nên \(\widehat{AIB}=90^0\)

Lại có \(\widehat{AIB}\) là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn cung AB và CE nên

\(\widehat{AIB}=\dfrac{sđ\overparen {CE}+sđ \overparen {AB}}{2}=90^0\)

Suy ra \(sđ\overparen {AB}+sđ \overparen {CE}=180^0\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(sđ \overparen {CE}=sđ \overparen {CD}\)

Suy ra \( \overparen {CE}=\overparen {CD}\), do đó \(CE=CD.\)

2. Ta có \(\widehat {EBC}\) và \(\widehat {CB{\rm{D}}}\) là góc nội tiếp lần lượt chắn cung \(\overparen{CE}\) và \(\overparen{CD}\) trong đường tròn \(O\) và \(\overparen{CD}\)= \(\overparen{CE}\)

nên \(\widehat {EBC} = \widehat {CB{\rm{D}}}\) ( 2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau thì bằng nhau)

\(\Rightarrow\) BK là phân giác của \(\widehat {HBD}\)

Lại có BK vuông góc với HD (giả thiết H là trực tâm của tam giác ABC). Suy ra BK vừa là đường cao vừa là đường phân giác của tam giác HBD nên \(∆BHD\) cân tại \(B\)

3. Vì \(∆BHD\) cân nên đường cao \(BK\) đồng thời là đường trung trực.

Điểm \(C\) nằm trên đường trung trực của \(HD\) nên \(CH = CD\)

• Bài 96 trang 105 SGK Toán 9 tập 2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M.
• Bài 97 trang 105 SGK Toán 9 tập 2 Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Bài 98 trang 105 SGK Toán 9 tập 2

Giải bài 98 trang 105 SGK Toán 9 tập 2. Cho đường tròn (O) và một điểm A cố định trên đường tròn. Tìm quỹ tích các trung điểm M của dây AB khi điểm B di động trên đường tròn đó.