Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Giải các phương trình
LG a
\[\sqrt{5x +6} = x - 6\];
Phương pháp giải:
Để giải các phương trình chứa ẩn dưới căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn.
Chú ý: phép biến đổi là hệ quả nên khi tìm ra \[x\], cần thay lại phương trình đã cho kiểm tra nghiệm.
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: \[5x + 6 0 x \ge \dfrac{-6}{5}\].
Bình phương hai vế ta được:
\[\begin{array}{l}
PT \Rightarrow 5x + 6 = {\left[ {x - 6} \right]^2}\\
\Leftrightarrow 5x + 6 = {x^2} - 12x + 36\\
\Leftrightarrow {x^2} - 12x + 36 - 5x - 6 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - 17x + 30 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\left[ {loai} \right]\\
x = 15\left[ {TM} \right]
\end{array} \right.
\end{array}\]
Thử lại x = 15 là nghiệm của [1], x = 2 không phải nghiệm của [1]
Vậy phương trình có nghiệm \[x=15\].
LG b
\[\sqrt{3 -x}\]=\[\sqrt{x +2} +1\] [2]
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ:
\[\left\{ \begin{array}{l}
3 - x \ge 0\\
x + 2 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 3\\
x \ge - 2
\end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow - 2 \le x \le 3\]
Bình phương hai vế ta được
\[\begin{array}{l}
\left[ 2 \right] \Leftrightarrow 3 - x = {\left[ {\sqrt {x + 2} + 1} \right]^2}\\
\Leftrightarrow 3 - x = x + 2 + 2\sqrt {x + 2} + 1\\
\Leftrightarrow 3 - x = x + 3 + 2\sqrt {x + 2} \\
\Leftrightarrow 3 - x - x - 3 = 2\sqrt {x + 2} \\
\Leftrightarrow - 2x = 2\sqrt {x + 2} \\
\Leftrightarrow - x = \sqrt {x + 2} \\
\Rightarrow {\left[ { - x} \right]^2} = x + 2\\
\Leftrightarrow {x^2} = x + 2\\
\Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = 2
\end{array} \right.
\end{array}\]
Thử lại thấy x = 2 không phải nghiệm của [2].
Vậy phương trình có nghiệm \[x=-1\]
LG c
\[\sqrt{2x^{2} +5} = x + 2\] [3]
Lời giải chi tiết:
ĐK: \[2{x^2} + 5 \ge 0\] [luôn đúng]
Bình phương hai vế ta được:
\[\begin{array}{l}
[3]\Rightarrow 2{x^2} + 5 = {\left[ {x + 2} \right]^2}\\
\Leftrightarrow 2{x^2} + 5 = {x^2} + 4x + 4\\
\Leftrightarrow 2{x^2} + 5 - {x^2} - 4x - 4 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - 4x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2 - \sqrt 3 \\
x = 2 + \sqrt 3
\end{array} \right.
\end{array}\]
Thử lại thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình [3]
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \[x_1 = 2 - \sqrt 3\] và \[x_2 = 2 + \sqrt 3\].
Cách khác:
Sử dụng
\[\sqrt {f\left[ x \right]} = g\left[ x \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g\left[ x \right] \ge 0\\
f\left[ x \right] = {g^2}\left[ x \right]
\end{array} \right.\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}
\sqrt {2{x^2} + 5} = x + 2\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + 2 \ge 0\\
2{x^2} + 5 = {\left[ {x + 2} \right]^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 2\\
2{x^2} + 5 = {x^2} + 4x + 4
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 2\\
2{x^2} + 5 - {x^2} - 4x - 4 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 2\\
{x^2} - 4x + 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 2\\
\left[ \begin{array}{l}
x = 2 + \sqrt 3 \\
x = 2 - \sqrt 3
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2 + \sqrt 3 \\
x = 2 - \sqrt 3
\end{array} \right.
\end{array}\]
LG d
\[\sqrt{4x^{2} +2x + 10} = 3x + 1\].
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[4{x^2} + 2x + 10 \] \[= {\left[ {2x} \right]^2}+ 2.2x.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{{39}}{4}\] \[ = {\left[ {2x + \dfrac{1}{4}} \right]^2} + \dfrac{{39}}{4} > 0,\forall x\]
Do đó TXĐ: D=R.
Bình phương hai vế ta được:
\[\begin{array}{l}
PT \Rightarrow 4{x^2} + 2x + 10 = {\left[ {3x + 1} \right]^2}\\
\Leftrightarrow 4{x^2} + 2x + 10 = 9{x^2} + 6x + 1\\
\Leftrightarrow 9{x^2} + 6x + 1 - 4{x^2} - 2x - 10 = 0\\
\Leftrightarrow 5{x^2} + 4x - 9 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = - \dfrac{9}{5}
\end{array} \right.
\end{array}\]
Thử lại thấy chỉ có x = 1 là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm \[x=1\].
Cách khác:
\[\begin{array}{l}
PT \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x + 1 \ge 0\\
4{x^2} + 2x + 10 = {\left[ {3x + 1} \right]^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - \dfrac{1}{3}\\
4{x^2} + 2x + 10 = 9{x^2} + 6x + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - \dfrac{1}{3}\\
4{x^2} + 2x + 10 - 9{x^2} - 6x - 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - \dfrac{1}{3}\\
- 5{x^2} - 4x + 9 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - \dfrac{1}{3}\\
\left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = - \dfrac{9}{5}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x = 1
\end{array}\]