Đề bài
Cho tam giác vuông tại A, AB = c, AC = b . Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho CM = 2BM, N là điểm trên cạnh AB sao cho BN = 2AN [h.106].
a] Biểu thị các vectơ theo hai vectơ \[\overrightarrow {AM} ,\,\overrightarrow {CN} \]và \[\overrightarrow {AB} ;\,\overrightarrow {AC} \].
b] Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c sao cho \[AM \bot CN\].
Lời giải chi tiết
a] Ta có:
\[\overrightarrow {CM} = 2\overrightarrow {MB} \] \[\Rightarrow \,\,\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AC} = 2[\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AM} ]\]
\[\Rightarrow \,\,\overrightarrow {AM} = {2 \over 3}\overrightarrow {AB} + {1 \over 3}\overrightarrow {AC} \]
Mặt khác \[\overrightarrow {BN} = 2\overrightarrow {NA} \] \[ \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {AN} \]\[ \Rightarrow 3\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} \]
\[\Rightarrow \,\,\overrightarrow {AN} = {1 \over 3}\overrightarrow {AB} \]
\[ \Rightarrow \,\,\overrightarrow {CN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AC} = {1 \over 3}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \]
Cách khác:
\[\begin{array}{l}
\overrightarrow {CM} = 2\overrightarrow {MB} = 2\left[ {\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CM} } \right]\\
= 2\overrightarrow {CB} - 2\overrightarrow {CM} \\
\Rightarrow 3\overrightarrow {CM} = 2\overrightarrow {CB} \\
\Rightarrow \overrightarrow {CM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {CB} \\
\Rightarrow \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CM} \\
= \overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {CB} \\
= \overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\left[ {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right]\\
= \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}
\end{array}\]
b] Ta có
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {CN} \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CN} = 0\cr& \Leftrightarrow \,\,\left[ {{2 \over 3}\overrightarrow {AB} + {1 \over 3}\overrightarrow {AC} } \right]\left[ {{1 \over 3}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right] \cr&\;\;\;\;\;= 0 \cr
& \Leftrightarrow \,\,{2 \over 9}A{B^2} - {2 \over 3}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + {1 \over 9}\overrightarrow {AC} .\,\overrightarrow {AB} - {1 \over 3}A{C^2}\cr&\;\;\;\;\; = 0 \cr
& \Leftrightarrow \,\,{2 \over 9}{c^2} - \frac{2}{3}.0 + \frac{1}{9}.0- {1 \over 3}{b^2} = 0 \cr
& \ \Leftrightarrow \,\,2{c^2} = 3{b^2} \cr} \]