Caác dạng toán chương nguyên hàm tích phân năm 2024
Dưới đây là phần tổng hợp kiến thức, công thức, lý thuyết Toán lớp 12 Chương 3: Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng ngắn gọn, chi tiết. Hi vọng tài liệu Lý thuyết Toán lớp 12 theo chương này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức môn Toán lớp 12. Show
Lý thuyết Nguyên hàmBài giảng: Bài 1 : Nguyên hàm - Thầy Trần Thế Mạnh (Giáo viên VietJack) A. Tóm tắt lý thuyết
1. Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K. Định lí:
Do đó F(x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Ký hiệu ∫f(x)dx = F(x) + C 2. Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1: (∫f(x)dx)' = f(x) và ∫f'(x)dx = f(x) + C Tính chất 2: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx với k là hằng số khác 0. Tính chất 3: ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx 3. Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1. Phương pháp đổi biến số Định lí 1: Nếu ∫f(u)du = F(u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì ∫f(u(x))u'(x)dx = F(u(x)) + C Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0) thì ta có ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C 2. Phương pháp nguyên hàm từng phần Định lí 2: Nếu hai hàm số u = u(x) và y = y(x) có đạo hàm liên tục trên K thì ∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx Hay ∫udv = uv - ∫vdu B. Kĩ năng giải bài tập- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp biến đổi trực tiếp. - Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số. - Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần. Lý thuyết Tích phânBài giảng: Bài 2 : Tích phân - Thầy Trần Thế Mạnh (Giáo viên VietJack) A. Tóm tắt lý thuyết1. Định nghĩa Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a; b] Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số f(x) kí hiệu là Ta dùng kí hiệu để chỉ hiệu số F(b) - F(a). Vậy . Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi hay . Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số. Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b. Vậy S = 2. Tính chất của tích phân B. Kĩ năng giải bài tập1. Một số phương pháp tính tích phân
Ví dụ 1: Tính các tính phân sau: Lời giải: II. Dạng 2: Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân Sử dụng tính chất để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ 2: Tính tích phân . Lời giải: Nhận xét: . Do đó III. Dạng 3: Phương pháp đổi biến số
Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] và α ≤ u(x) ≤ β. Giả sử có thể viết f(x) = g(u(x))u'(x), x ∈ [a; b] với g liên tục trên đoạn [α; β]. Khi đó, ta có Ví dụ 3: Tính tích phân . Lời giải: Đặt u = sinx. Ta có du = cosxdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u(0) = 0; x = π/2 ⇒ u(π/2) = 1 Khi đó Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân
Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α; β](*) sao cho φ(α) = a,φ(β) = b và a ≤ φ(t) ≤ b với mọi t ∈ [α; β]. Khi đó: Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính tích phân thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân thì nên đổi biến dạng 1. Ví dụ 4: Tính các tích phân sau:
Vậy
Vậy IV. Dạng 4: Phương pháp tính tích phân từng phần. Định lí : Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] thì hay viết gọn là . Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính Dạng hàm P(x): Đa thức Q(x): sin(kx) hay cos(kx) P(x): Đa thức Q(x): ekx P(x): Đa thức Q(x): ln(ax + b) P(x): Đa thức Q(x): 1/sin2x hay 1/cos2x Cách đặt * u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân * u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân * u = ln(ax + b) * dv = P(x)dx * u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”. Ví dụ 5: Tính các tích phân sau : Lời giải:
Do đó
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi tốt nghiệp THPT khác:
Săn SALE shopee Tết:
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official |