Bài toán nhập vào mảng rồi sắp xếp

Sắp xếp là quá trình bố trí lại các phần tử trong một tập hợp theo một trình tự nào đó nhằm mục đích giúp quản lý và tìm kiếm các phần tử dễ dàng và nhanh chóng hơn.

Tại sao phải sắp xếp?

• Để có thể sử dụng thuật toán tìm nhị phân
• Để thực hiện thao tác nào đó được nhanh hơn

Các phương pháp sắp xếp thông dụng:

• Phương pháp Đổi chỗ trực tiếp (Interchange sort)
• Phương pháp Nổi bọt (Bubble sort)
• Phương pháp Chèn trực tiếp (Insertion sort)
• Phương pháp Chọn trực tiếp (Selection sort)

Interchange Sort

Khái niệm nghịch thế:

• Xét một mảng các số a[0], a[1], … a[n-1]
• Nếu có i a[j], thì ta gọi đó là một nghịch thế

Mảng chưa sắp xếp sẽ có nghịch thế

Mảng đã có thứ tự sẽ không chứa nghịch thế

a[0] <= a[1] <=… <=[n -1]

Nhận xét:

• Để sắp xếp một dãy số, ta có thể xét các nghịch thế có trong dãy và làm triệt tiêu dần chúng đi

Ý tưởng:

• Xuất phát từ đầu dãy, tìm tất cả nghịch thế chứa phần tử này, triệt tiêu chúng bằng cách đổi chỗ phần tử này với phần tử tương ứng trong cặp nghịch thế
• Lặp lại xử lý trên với các phần tử tiếp theo trong dãy

void Swap(int &a, int &b){
    int temp = a;
    a = b;
    b = temp;
}
void InterchangeSort(int a[], int n){  
    for (int i = 0; i < n - 1; i++)
        for (int j = i + 1; j < n; j++)
          if(a[i] > a[j])  //nếu có nghịch thế thì đổi chỗ
            Swap(a[i], a[j]);
}

Đánh giá:

• Số lượng các phép so sánh xảy ra không phụ thuộc vào tình trạng của dãy số ban đầu
• Số lượng phép hoán vị thực hiện tùy thuộc vào kết quả so sánh

Bubble Sort

Ý tưởng:

• Xuất phát từ cuối dãy, đổi chỗ các cặp phần tử kế cận để đưa phần tử nhỏ hơn trong cặp phần tử đó về vị trí đầu dãy hiện hành, sau đó sẽ không xét đến nó ở bước tiếp theo
• Ở lần xử lý thứ i có vị trí đầu dãy là i
• Lặp lại xử lý trên cho đến khi không còn cặp phần tử nào để xét

void BubbleSort(int a[], int n){  
  for (int i = 0; i < n - 1; i++)
    for (int j = n - 1; j > i; j--)
       if(a[j] < a[j-1])
           Swap(a[j], a[j-1]);
}

Đánh giá:

• Số lượng các phép so sánh xảy ra không phụ thuộc vào tình trạng của dãy số ban đầu
• Số lượng phép hoán vị thực hiện tùy thuộc vào kết quả so sánh

Khuyết điểm:

• Không nhận diện được tình trạng dãy đã có thứ tự hay có thứ tự từng phần
• Các phần tử nhỏ được đưa về vị trí đúng rất nhanh, trong khi các phần tử lớn lại được đưa về vị trí đúng rất chậm

Insertion Sort

Nhận xét:

• Mọi dãy a[0] , a[1] ,..., a[n-1] luôn có i-1 phần tử đầu tiên a[0] , a[1] ,... , a[i-2] đã có thứ tự (i ≥ 2)

Ý tưởng chính:

• Tìm cách chèn phần tử a[i] vào vị trí thích hợp của đoạn đã được sắp để có dãy mới a[0] , a[1] ,... , a[i-1] trở nên có thứ tự
• Vị trí này chính là pos thỏa : a[pos-1] <= a[i ]< a[pos] (1 <= pos <= i)

void InsertionSort(int a[], int n){  
  int pos, x;
  for(int i = 1; i < n; i++){ //đoạn a[0] đã sắp
    x = a[i]; 
    pos = i;
    while(pos > 0 && x < a[pos-1]){
      a[pos] = a[pos-1];  // dời chỗ
      pos--;
    }
    a[pos] = x;
  }
}

Đánh giá:

• Giải thuật thực hiện tất cả N-1 vòng lặp tìm pos, do số lượng phép so sánh và dời chỗ này phụ thuộc vào tình trạng của dãy số ban đầu, nên chỉ có thể ước lược trong từng trường hợp như sau:

Selection Sort

Nhận xét:

• Mảng có thứ tự thì a[i] = min(a[i], a[i+1], …, a[n-1])

Ý tưởng: mô phỏng một trong những cách sắp xếp tự nhiên nhất trong thực tế:

• Chọn phần tử nhỏ nhất trong n phần tử ban đầu, đưa phần tử này về vị trí đúng là đầu dãy hiện hành
• Xem dãy hiện hành chỉ còn n-1 phần tử của dãy ban đầu, bắt đầu từ vị trí thứ 2; lặp lại quá trình trên cho dãy hiện hành... đến khi dãy hiện hành chỉ còn 1 phần tử

void SelectionSort(int a[], int n)
{
  int min; // chỉ số phần tử nhỏ nhất trong dãy hiện hành
  for (int  i = 0; i < n - 1; i++){
    min = i; 
    for(int j = i + 1; j < n; j++)
          if (a[j] < a[min])
           min = j; // ghi nhận vị trí phần tử nhỏ nhất
    if (min != i)
          Swap(a[min], a[i]);
  }
}

Đánh giá:

• Ở lượt thứ i, cần (n-i) lần so sánh để xác định phần tử nhỏ nhất hiện hành
• Số lượng phép so sánh không phụ thuộc vào tình trạng của dãy số ban đầu
• Trong mọi trường hợp, số lần so sánh là:

Tạm kết

Như vậy là mình đã giới thiệu cho các bạn 4 thuật toán sắp xếp thông dụng. Ở phần tới mình sẽ giới thiệu thêm cho các bạn thêm các thuật toán sắp xếp khác.