Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
Page 2
CHUYÊN ĐỀ 1 - PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
* Hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
* Giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử
* Nâng cao trình độ và kỹ năng về phân tích đa thức thành nhân tử
B. CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP
+ Đa thức f[x] có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất
+ Nếu f[x] có tổng các hệ số bằng 0 thì f[x] có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f[x] có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f[x] có một nhân tử là x + 1
+ Nếu a là nghiệm nguyên của f[x] và f[1]; f[- 1] khác 0 thì
đều là số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
1. Ví dụ 1: 3x2 – 8x + 4
Cách 1: Tách hạng tử thứ 2
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x[x – 2] – 2[x – 2] = [x – 2][3x – 2]
Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:
3x2 – 8x + 4 = [4x2 – 8x + 4] - x2 = [2x – 2]2 – x2 = [2x – 2 + x][2x – 2 – x]
= [x – 2][3x – 2]
Ví dụ 2: x3 – x2 - 4
Ta nhân thấy nghiệm của f[x] nếu có thì x =
Cách 1:
x3 – x2 – 4 =[x3-2x2]+[x2-2x]+[2x-4]=x2[x-2]+x[x-2]+2[x-2]=[x-2][x2+x+2]
Cách 2:
[x-2][[x2+2x+4]-[x+2]]=[x-2][x2+x+2]
x3-x2-4=x3-8-x2+4=[x3-8]-[x2-4]=[x-2][x2+2x+4]-[x-2][x+2]
Ví dụ 3: f[x] = 3x3 – 7x2 + 17x – 5
Nhận xét:
Ta nhận thấy x =
f[x] = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 = 3x3-x2-6x2+2x+15x-5=[3x3-x2]-[6x2-2x]+[15x-5]
= x2[3x-1]-2x[3x-1]+5[3x-1]=[3x-1][x2-2x+5]
Vì x2-2x+5=[x2-2x+1]+4=[x-1]2+4>0
với mọi x nên không phân tích được thành
nhân tử nữa
Ví dụ 4: x3 + 5x2 + 8x + 4
Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x + 1
x3 + 5x2 + 8x + 4 = [x3 + x2 ] + [4x2 + 4x] + [4x + 4] = x2[x + 1] + 4x[x + 1] + 4[x + 1]
= [x + 1][x2 + 4x + 4] = [x + 1][x + 2]2
Ví dụ 5: f[x] = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2
Tổng các hệ số bằng 0 thì nên đa thức có một nhân tử là x – 1, chia f[x] cho [x – 1] ta có:
x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 = [x – 1][x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2]
Vì x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2 không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ nên không phân tích được nữa
Ví dụ 6: x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = [x4 + x2 + 1] + [1996x2 + 1996x + 1996]
= [x2 + x + 1][x2 - x + 1] + 1996[x2 + x + 1]
= [x2 + x + 1][x2 - x + 1 + 1996] = [x2 + x + 1][x2 - x + 1997]
Ví dụ 7: x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.[2001 + 1]
= x2 - x – 20012 - 2001 = [x2 – 20012] – [x + 2001] = [x + 2001][x – 2002]
II. THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ
1. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương:
Ví dụ 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = [2x2 + 9]2 – 36x2
= [2x2 + 9]2 – [6x]2 = [2x2 + 9 + 6x][2x2 + 9 – 6x]
= [2x2 + 6x + 9 ][2x2 – 6x + 9]
Ví dụ 2: x8 + 98x4 + 1 = [x8 + 2x4 + 1 ] + 96x4
= [x4 + 1]2 + 16x2[x4 + 1] + 64x4 - 16x2[x4 + 1] + 32x4
= [x4 + 1 + 8x2]2 – 16x2[x4 + 1 – 2x2] = [x4 + 8x2 + 1]2 - 16x2[x2 – 1]2
= [x4 + 8x2 + 1]2 - [4x3 – 4x ]2
= [x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1][x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1]
2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ 1: x7 + x2 + 1 = [x7 – x] + [x2 + x + 1 ] = x[x6 – 1] + [x2 + x + 1 ]
= x[x3 - 1][x3 + 1] + [x2 + x + 1 ] = x[x – 1][x2 + x + 1 ] [x3 + 1] + [x2 + x + 1]
= [x2 + x + 1][x[x – 1][x3 + 1] + 1] = [x2 + x + 1][x5 – x4 + x2 - x + 1]
Ví dụ 2: x7 + x5 + 1 = [x7 – x ] + [x5 – x2 ] + [x2 + x + 1]
= x[x3 – 1][x3 + 1] + x2[x3 – 1] + [x2 + x + 1]
= [x2 + x + 1][x – 1][x4 + x] + x2 [x – 1][x2 + x + 1] + [x2 + x + 1]
= [x2 + x + 1][[x5 – x4 + x2 – x] + [x3 – x2 ] + 1] = [x2 + x + 1][x5 – x4 + x3 – x + 1]
Ghi nhớ:
Các đa thức có dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như: x7 + x2 + 1 ; x7 + x5 + 1 ; x8 + x4 + 1 ;
x5 + x + 1 ; x8 + x + 1 ; … đều có nhân tử chung là x2 + x + 1
III. ĐẶT BIẾN PHỤ:
Ví dụ 1: x[x + 4][x + 6][x + 10] + 128 = [x[x + 10]][[x + 4][x + 6]] + 128
= [x2 + 10x] + [x2 + 10x + 24] + 128
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng
[y – 12][y + 12] + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = [y + 4][y – 4]
= [ x2 + 10x + 8 ][x2 + 10x + 16 ] = [x + 2][x + 8][ x2 + 10x + 8 ]
Ví dụ 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1
Giả sử x
x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x2 [ x2 + 6x + 7 –
Đặt x -
A = x2[y2 + 2 + 6y + 7] = x2[y + 3]2 = [xy + 3x]2 = [x[x -
Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:
A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x4 + [6x3 – 2x2 ] + [9x2 – 6x + 1 ]
= x4 + 2x2[3x – 1] + [3x – 1]2 = [x2 + 3x – 1]2
Ví dụ 3: A =[x2+y2+z2][x+y+z]2+[xy+yz+zx]2
=[[x2+y2+z2]+2 [xy+yz+zx]][x2+y2+z2]+[xy+yz+zx]2
Đặt x2+y2+z2 = a, xy + yz + zx = b ta có
A = a[a + 2b] + b2 = a2 + 2ab + b2 = [a + b]2 = [ x2+y2+z2 + xy + yz + zx]2
Ví dụ 4: B =2[x4+y4+z4]-[x2+y2+z2]2-2[x2+y2+z2][x+y+z]2+[x+y+z]4
Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có:
B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2[a – b2] + [b –c2]2
Ta lại có: a – b2 = - 2[x2y2+y2z2+z2x2] và b –c2 = - 2[xy + yz + zx] Do đó;
B = - 4[x2y2+y2z2+z2x2] + 4 [xy + yz + zx]2
= -4x2y2-4y2z2-4z2x2+4x2y2+4y2z2+4z2x2+8x2yz+8xy2z+8xyz2=8xyz[x+y+z]
Ví dụ 5: [a+b+c]3-4[a3+b3+c3]-12abc
Đặt a + b = m, a – b = n thì 4ab = m2 – n2
a3 + b3 = [a + b][[a – b]2 + ab] = m[n2 +
C = [m + c]3 – 4.
= 3[c2[m - c] - n2[m - c]] = 3[m - c][c - n][c + n] = 3[a + b - c][c + a - b][c - a + b]
IV. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH:
Ví dụ 1: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
Nhận xét: các số
Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng
[x2 + ax + b][x2 + cx + d] = x4 + [a + c]x3 + [ac + b + d]x2 + [ad + bc]x + bd
đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có:
Xét bd = 3 với b, d
Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = [x2 - 2x + 3][x2 - 4x + 1]
Ví dụ 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8
Nhận xét: đa thức có 1 nghiệm là x = 2 nên có thừa số là x - 2 do đó ta có:
2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = [x - 2][2x3 + ax2 + bx + c]
= 2x4 + [a - 4]x3 + [b - 2a]x2 + [c - 2b]x - 2c
Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = [x - 2][2x3 + x2 - 5x - 4]
Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - 4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn bằng nahu nên có 1 nhân tử là x + 1 nên 2x3 + x2 - 5x - 4 = [x + 1][2x2 - x - 4]
Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = [x - 2][x + 1][2x2 - x - 4]
Ví dụ 3:
12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = [a x + by + 3][cx + dy - 1]
= acx2 + [3c - a]x + bdy2 + [3d - b]y + [bc + ad]xy – 3
[theo violet]