Đề bài
Cho đường tròn [O ; R], đường kính AB = 2R. Lấy điểm C trên đường tròn sao cho CA < CB. Vẽ dây CD vuông góc với AB tại H.
a] Chứng minh rằng tam giác ABC vuông và \[C{D^2} = 4HA.HB\].
b] Đường thẳng [d] tiếp xúc với đường tròn [O] tại C. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên [d]. Xét vị trí tương đối của đường tròn [A ; AM] và đường tròn [B ; BN].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] +] Chứng minh \[\angle ACB = {90^0}\].
+] Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
b] +] Dựa vào các đường thẳng song song và tính chất tam giác cân, chứng minh \[\angle MAC = \angle HAC\].
+] Chứng minh \[{\Delta _v}AMC = {\Delta _v}AHC\]\[ \Rightarrow AM = AH\].
+] Tương tự chứng minh \[{\Delta _v}BNC = {\Delta _v}BHC \Rightarrow BN = BH\].
+] Chứng minh \[AM + BN = AB\]. Từ đó suy ra vị trí tương đối của \[\left[ {A;AM} \right]\] và \[\left[ {B;BN} \right]\].
Lời giải chi tiết
a] Do \[C\] thuộc đường tròn đường kính \[AB \Rightarrow \angle ACB = {90^0}\].
\[ \Rightarrow \Delta ABC\] vuông tại \[C\].
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \[ABC\] ta có: \[C{H^2} = HA.HB\].
Vì \[AB \bot CD\] tại \[H \Rightarrow H\] là trung điểm của \[CD\] [quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung]
\[ \Rightarrow C{D^2} = {\left[ {2CH} \right]^2}\]\[\, = 4C{H^2} = 4HA.HB\] [đpcm].
b] Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}AM \bot d\\OC \bot d\end{array} \right. \]
\[\Rightarrow AM//OC \Rightarrow \angle MAC = \angle OCA\] [so le trong].
Lại có \[OA = OC = R \Rightarrow \Delta OAC\] cân tại \[O \Leftrightarrow \angle OCA = \angle OAC\].
\[ \Rightarrow \angle MAC = \angle OAC = \angle HAC\].
Xét hai tam giác vuông \[\Delta AMC\] và \[{\Delta}AHC\] có:
\[\begin{array}{l}AC\,\,chung\\\angle MAC = \angle HAC\,\,\left[ {cmt} \right]\end{array}\]
\[ \Rightarrow {\Delta _v}AMC = {\Delta _v}AHC\] [cạnh huyền góc nhọn] \[ \Rightarrow AM = AH\].
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được \[{\Delta _v}BNC = {\Delta _v}BHC \Rightarrow BN = BH\].
Xét \[\left[ {A;AM} \right]\] và \[\left[ {B;BN} \right]\] có \[AM + BN = AH + BH = AB \]
\[\Rightarrow \left[ {A;AM} \right]\] và \[\left[ {B;BN} \right]\] tiếp xúc ngoài tại \[H\].