Đề bài
Câu 1 [1 điểm]: Không dùng máy tính cầm tay, hãy giải phương trình: \[\left[ {x - 2018} \right]\left[ {x - 2020} \right] = 2018 - x.\]
Câu 2 [1 điểm]: Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức: \[A = \dfrac{{\sqrt {15} - \sqrt {12} }}{{\sqrt 5 - 2}} - \dfrac{1}{{2 - \sqrt 3 }}.\]
Câu 3 [1 điểm]: Rút gọn biểu thức: \[P = \left[ {\dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{x - \sqrt x }}{{x - 4}}} \right]:\dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\] với \[x > 0,\;\;x \ne 4.\]
Câu 4 [1 điểm]: Cho hàm số bậc nhất \[y = mx + 1\] với \[m\] là tham số. Tìm \[m\] để đồ thị hàm số đi qua điểm \[A\left[ {1;\;4} \right].\] Với giá trị \[m\] vừa tìm được, hàm số đồng biến hay nghịch biến trên \[R.\]
Câu 5 [1 điểm]: Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}3\left[ {x + 1} \right] + 2\left[ {x + 2y} \right] = 4\\4\left[ {x + 1} \right] - \left[ {x + 2y} \right] = 9\end{array} \right..\]
Câu 6 [1 điểm]: Cho phương trình \[{x^2} - 4x + 4m - 3 = 0\] với \[m\] là tham số. Tìm giá trị của \[m\] để phương trình có hai nghiệm \[{x_1};\;{x_2}\] thỏa mãn \[x_1^2 + x_2^2 = 14.\]
Câu 7 [1 điểm]: Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A,\] đường cao \[AH,\] biết \[AC = 16cm\] và \[\sin \widehat {CAH} = \dfrac{4}{5}.\] Tính độ dài các cạnh \[BC,\;AB.\]
Câu 8 [1 điểm]: Cho hai đường tròn \[\left[ {O;\;4cm} \right]\] và \[\left[ {O';\;11cm} \right].\] Biết khoảng cách \[OO' = 2a + 3\;\left[ {cm} \right]\] với \[a\] là số thực dương. Tìm \[a\] để hai đường tròn tiếp xúc nhau.
Câu 9 [1 điểm]: Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Vẽ dây cung MC không đi qua tâm O cắt đoạn thẳng AB tại D [D khác A, D khác B]. Đường thẳng vuông góc với AB tại D, cắt OC tại K.Chứng minh rằng tam giác KCD là tam giác đều.
Câu 10 [1 điểm]: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
a] Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp được trong một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.
b] Gọi M là giao điểm của EF và BC, đường thẳng MA cắt [O] tại điểm thứ hai là I khác A. Chứng minh tứ giác AEFI nội tiếp được một đường tròn.
Lời giải chi tiết
Câu 1:
Không dùng máy tính cầm tay, hãy giải phương trình: \[\left[ {x - 2018} \right]\left[ {x - 2020} \right] = 2018 - x.\]
Ta có: \[\left[ {x - 2018} \right]\left[ {x - 2020} \right] = 2018 - x\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ {x - 2018} \right]\left[ {x - 2020} \right] + x - 2018 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {x - 2018} \right]\left[ {x - 2020 + 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {x - 2018} \right]\left[ {x - 2019} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2018 = 0\\x - 2019 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2018\\x = 2019\end{array} \right..\end{array}\]
Vậy phương trình có tập nghiệm \[S = \left\{ {2018;\;2019} \right\}.\]
Câu 2:
Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức: \[A = \dfrac{{\sqrt {15} - \sqrt {12} }}{{\sqrt 5 - 2}} - \dfrac{1}{{2 - \sqrt 3 }}.\]
\[\begin{array}{l}A = \dfrac{{\sqrt {15} - \sqrt {12} }}{{\sqrt 5 - 2}} - \dfrac{1}{{2 - \sqrt 3 }}\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt {3.5} - 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 5 - 2}} - \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]\left[ {2 + \sqrt 3 } \right]}}\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt 3 \left[ {\sqrt 5 - 2} \right]}}{{\sqrt 5 - 2}} - \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{4 - 3}} \\\;\;\;= \sqrt 3 - 2 - \sqrt 3 = - 2.\end{array}\]
Vậy \[A = - 2.\]
Câu 3:
Rút gọn biểu thức: \[P = \left[ {\dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{x - \sqrt x }}{{x - 4}}} \right]:\dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\] với \[x > 0,\;\;x \ne 4.\]
Điều kiện: \[x > 0,\;\;x \ne 4.\]
\[\begin{array}{l}P = \left[ {\dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{x - \sqrt x }}{{x - 4}}} \right]:\dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\\\;\;\; = \left[ {\dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{x - \sqrt x }}{{\left[ {\sqrt x + 2} \right]\left[ {\sqrt x - 2} \right]}}} \right]:\dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\\\;\;\; = \dfrac{{3\sqrt x \left[ {\sqrt x - 2} \right] + \sqrt x \left[ {\sqrt x + 2} \right] - x + \sqrt x }}{{\left[ {\sqrt x + 2} \right]\left[ {\sqrt x - 2} \right]}}:\dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\\\;\;\; = \dfrac{{3x - 6\sqrt x + x + 2\sqrt x - x + \sqrt x }}{{\left[ {\sqrt x + 2} \right]\left[ {\sqrt x - 2} \right]}}.\dfrac{{\sqrt x + 2}}{{3\sqrt x }}\\\;\;\; = \dfrac{{3x - 3\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}.\dfrac{1}{{3\sqrt x }} = \dfrac{{3\sqrt x \left[ {\sqrt x - 1} \right]}}{{3\sqrt x \left[ {\sqrt x - 2} \right]}} = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}.\end{array}\]
Câu 4:
Cho hàm số bậc nhất \[y = mx + 1\] với \[m\] là tham số. Tìm \[m\] để đồ thị hàm số đi qua điểm \[A\left[ {1;\;4} \right].\] Với giá trị \[m\] vừa tìm được, hàm số đồng biến hay nghịch biến trên \[R.\]
Hàm số \[y = mx + 1\] là hàm số bậc nhất khi \[m \ne 0\]
Đồ thị hàm số đi qua điểm \[A\left[ {1;\;4} \right] \Rightarrow 4 = m.1 + 1 \Leftrightarrow m = 3.\left[ {tm} \right]\]
Khi đó hàm số có dạng: \[y = 3x + 1.\]
Hàm số có \[a = 3 > 0\] nên hàm số đồng biến trên \[R.\]
Câu 5:
Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}3\left[ {x + 1} \right] + 2\left[ {x + 2y} \right] = 4\\4\left[ {x + 1} \right] - \left[ {x + 2y} \right] = 9\end{array} \right..\]
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3\left[ {x + 1} \right] + 2\left[ {x + 2y} \right] = 4\\4\left[ {x + 1} \right] - \left[ {x + 2y} \right] = 9\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 3 + 2x + 4y = 4\\4x + 4 - x - 2y = 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x + 4y = 1\\3x - 2y = 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x + 4y = 1\\6x - 4y = 10\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11x = 11\\2y = 3x - 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\2y = 3 - 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\2y = - 2\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1\end{array} \right..\end{array}\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: \[\left[ {x;\;y} \right] = \left[ {1;\; - 1} \right].\]
Câu 6:
Cho phương trình \[{x^2} - 4x + 4m - 3 = 0\] với \[m\] là tham số. Tìm giá trị của \[m\] để phương trình có hai nghiệm \[{x_1};\;{x_2}\] thỏa mãn \[x_1^2 + x_2^2 = 14.\]
Phương trình đã cho có hai nghiệm \[{x_1},\;{x_2} \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4 - 4m + 3 \ge 0\\ \Leftrightarrow 4m \le 7\\ \Leftrightarrow m \le \dfrac{7}{4}.\end{array}\]
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4\\{x_1}{x_2} = 4m - 3\end{array} \right..\]
Theo đề bài ta có: \[x_1^2 + x_2^2 = 14\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]^2} - 2{x_1}{x_2} = 14\\ \Leftrightarrow {4^2} - 2\left[ {4m - 3} \right] = 14\\ \Leftrightarrow 16 - 8m + 6 = 14\\ \Leftrightarrow 8m = 8\\ \Leftrightarrow m = 1\;\;\left[ {tm} \right].\end{array}\]
Vậy \[m = 1.\]
Câu 7:
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A,\] đường cao \[AH,\] biết \[AC = 16cm\] và \[\sin \widehat {CAH} = \dfrac{4}{5}.\] Tính độ dài các cạnh \[BC,\;AB.\]
Xét tam giác \[CAH\] vuông tại \[H\] ta có:
\[\sin \widehat {CAH} = \dfrac{4}{5} \]
\[\Leftrightarrow \dfrac{{HC}}{{AC}} = \dfrac{{HC}}{{16}} = \dfrac{4}{5} \]
\[\Leftrightarrow HC = \dfrac{{4.16}}{5} = 12,8cm.\]
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A,\] đường cao \[AH\] ta có:
\[A{C^2} = HC.BC \]
\[\Rightarrow BC = \dfrac{{A{C^2}}}{{HC}} = \dfrac{{{{16}^2}}}{{12,8}} = 20\left[ {cm} \right]\]
Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác vuông ABC ta có:
\[\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \\\Rightarrow A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {20^2} - {16^2} = 144\\ \Rightarrow AB = 12\left[ {cm} \right]\end{array}\]
Vậy BC = 20 cm; AB = 12 cm.
Câu 8:
Cho hai đường tròn \[\left[ {O;\;4cm} \right]\] và \[\left[ {O';\;11cm} \right].\] Biết khoảng cách \[OO' = 2a + 3\;\left[ {cm} \right]\] với \[a\] là số thực dương. Tìm \[a\] để hai đường tròn tiếp xúc nhau.
Hai đường tròn tiếp xúc ngoài nhau nếu: \[OO' = 4 + 11 = 15 \Rightarrow 2a + 3 = 15 \Leftrightarrow a = 6\;\;\left[ {tm} \right].\]
Hai đường tròn tiếp xúc trong nhau nếu: \[OO' = \left| {4 - 11} \right| = 7 \Rightarrow 2a + 3 = 7 \Leftrightarrow a = 2\;\;\left[ {tm} \right].\]
Vậy \[a = 2\] hoặc \[a = 6\] thỏa mãn bài toán.
Câu 9:
Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Vẽ dây cung MC không đi qua tâm O cắt đoạn thẳng AB tại D [D khác A, D khác B]. Đường thẳng vuông góc với AB tại D, cắt OC tại K.Chứng minh rằng tam giác KCD là tam giác đều.
Nên ta có OM là đường trung trực của \[AB\;\;hay\;\;AB \bot OM.\]Ta có \[M\] là điểm chính giữa cung AB, suy ra cung MA bằng cung MB, suy ra MA = MB [trong một đường tròn thì hai cung căng hai dây bằng nhau]; Lại có OA = OB [bán kính của [O]]
Lại có \[KD \bot AB\;\;\left[ {gt} \right]\]
\[ \Rightarrow KD//OM\] [từ vuông góc đến song song].
\[ \Rightarrow \widehat {CMO} = \widehat {CDK}\] [hai góc đồng vị].
Ta có \[OC = OM = R \Rightarrow \Delta MOC\] cân tại O \[ \Rightarrow \widehat {OMC} = \widehat {OCM}.\] [hai góc kề đáy].
\[ \Rightarrow \widehat {MCO} = \widehat {CDK}\left[ { = \widehat {CMO}} \right] \Rightarrow \Delta KCD\] cân tại \[K.\] [đpcm].
Câu 10:
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
a] Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp được trong một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.
Ta có \[\Delta AFH\] vuông tại \[F\left[ {do\,\,CF \bot AB} \right] \Rightarrow A,\;F,\;H\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[AH.\] [1]
\[\Delta AEH\] vuông tại \[E\left[ {do\,\,BE \bot AC} \right] \Rightarrow A,\;E,\;H\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[AH.\] [2]
Từ [1] và [2] ta có 4 điểm \[A,\;E,\;F,\;H\] cùng thuộc đường tròn tâm là trung điểm của \[AH\] và bán kính \[R = \dfrac{{AH}}{2}.\]
Hay tứ giác \[AEHF\] nội tiếp đường tròn tâm là trung điểm của \[AH\] và bán kính \[R = \dfrac{{AH}}{2}.\]