Đề bài
Câu I [2 điểm]:
1] a] Rút gọn: \[A = \sqrt {12} + \sqrt 3 .\]
b] Tìm \[x\] biết \[4x - 6 = 0.\]
2] a] Rút gọn biểu thức: \[B = {\left[ {x + 2} \right]^2} - {x^2}.\]
b] Vẽ đồ thị hàm số \[y = 2x - 3\] trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy.\]
Câu II [2,0 điểm]:
1] Giải phương trình: \[{x^4} - 8{x^2} - 9 = 0.\]
2] Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{y + 1}} = 4\\\dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{{y + 1}} = 3\end{array} \right..\]
Câu III [2,0 điểm]
1] Do cải tiến kỹ thuật nên tổng sản lượng thu hoạch cam nhà bác Minh năm 2017 đạt 180 tấn, tăng 20% so với năm 2016. Hỏi năm 2016 nhà bác Minh thu hoạch được bao nhiêu tấn cam?
2] Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại H, đường thẳng AH cắt DC tại E, biết AH = 4cm, HE = 2cm. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
Câu IV [2 điểm]:
Cho đường tròn \[\left[ {O;R} \right]\] đường kính AB, một dây CD cắt đoạn thẳng AB tại E, tiếp tuyến của [O] tại B cắt các tia AC, AD lần lượt tại M, N.
1] Chứng minh rằng \[\angle ACD = \angle ANM\]
2] Chứng minh rằng \[AC + AD + AM + AN > 8R\]
Câu V.
1] Giải phương trình: \[{x^2} + 2 = 2\sqrt {{x^3} + 1} .\]
2] Cho x, y là các số không âm thỏa mãn \[x + y = 4\]. Chứng minh \[{x^2}{y^2}\left[ {{x^2} + {y^2}} \right] \le 128\]
Lời giải chi tiết
Câu I:
1] a] Rút gọn: \[A = \sqrt {12} + \sqrt 3 .\]
\[A = \sqrt {12} + \sqrt 3 = \sqrt {{2^2}.3} + \sqrt 3 \]\[\,= 2\sqrt 3 + \sqrt 3 = 3\sqrt 3 .\]
Vậy \[A = 3\sqrt 3 .\]
b] Tìm \[x\] biết \[4x - 6 = 0.\]
\[4x - 6 = 0 \Leftrightarrow 4x = 6 \Leftrightarrow x = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}.\]
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \[x = \dfrac{3}{2}.\]
2] a] Rút gọn biểu thức: \[B = {\left[ {x + 2} \right]^2} - {x^2}.\]
\[B = {\left[ {x + 2} \right]^2} - {x^2} \]
\[\;\;\;= {x^2} + 4x + 4 - {x^2} = 4x + 4.\]
Vậy \[B = 4x + 4.\]
b] Vẽ đồ thị hàm số \[y = 2x - 3\] trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy.\]
Ta có bảng giá trị:
|
\[x\] |
\[0\] |
\[2\] |
|
\[y = 2x - 3\] |
\[ - 3\] |
\[1\] |
Vậy đồ thị hàm số \[y = 2x - 3\] là đường thẳng đi qua các điểm \[\left[ {0; - 3} \right],\;\;\left[ {2;\;1} \right].\]
Câu II:
1] Giải phương trình: \[{x^4} - 8{x^2} - 9 = 0.\]
Đặt \[{x^2} = t\;\;\left[ {t \ge 0} \right].\]
Khi đó ta có phương trình \[ \Leftrightarrow {t^2} - 8t - 9 = 0.\]
Có: \[a = 1,\;\;b = - 8,\;\;c = - 9 \] \[\Rightarrow a - b + c = 1 + 8 - 9 = 0.\]
\[ \Rightarrow \] phương trình có hai nghiệm \[t = - 1\;\;\left[ {ktm} \right]\] và \[t = - \dfrac{c}{a} = 9\;\;\left[ {tm} \right].\]
Với \[t = 9 \Rightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3.\]
Vậy phương trình có tập nghiệm \[S = \left\{ { - 3;\;3} \right\}.\]
2] Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{y + 1}} = 4\\\dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{{y + 1}} = 3\end{array} \right..\]
Điều kiện: \[x \ne 0,\;\;y \ne - 1.\]
Đặt \[u = \dfrac{1}{x}\;\;\left[ {u \ne 0} \right],\;\;v = \dfrac{1}{{y + 1}}\;\;\left[ {v \ne 0} \right].\]
Khi đó ta có hệ phương trình:
\[\left\{ \begin{array}{l}u + 2v = 4\\2u - v = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u + 2v = 4\\4u - 2v = 6\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5u = 10\\v = 2u - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 2\;\;\left[ {tm} \right]\\v = 1\;\;\;\left[ {tm} \right]\end{array} \right..\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} = 2\\\dfrac{1}{{y + 1}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 1\\y + 1 = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\;\;\;\left[ {tm} \right]\\y = 0\;\;\;\left[ {tm} \right]\end{array} \right..\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm \[\left[ {x;\;y} \right] = \left[ {\dfrac{1}{2};\;0} \right].\]
Câu III.
1] Do cải tiến kỹ thuật nên tổng sản lượng thu hoạch cam nhà bác Minh năm 2017 đạt 180 tấn, tăng 20% so với năm 2016. Hỏi năm 2016 nhà bác Minh thu hoạch được bao nhiêu tấn cam?
Gọi số cam nhà bác Minh thu hoạch được năm 2016 là: x [tấn] \[\left[ {0 < x < 180} \right]\]
Số tấn cam nhà bác Minh thu hoạch được năm 2017 tăng 20% so với năm 2016 nên ta có: \[120\% .x = 1,2x\] [tấn]
Theo đầu bài ta có số tấn cam nhà bác Minh thu hoạch được năm 2017 là 180 tấn nên:
\[1,2x = 180 \Leftrightarrow x = 150\left[ {tm} \right]\]
Vậy năm 2016 nhà bác Minh thu hoạch được 150 tấn cam.
2] Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại H, đường thẳng AH cắt DC tại E, biết AH = 4cm, HE = 2cm. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
Xét tam giác ADE vuông tại D và có đường cao DH [do \[AH \bot DB \Rightarrow AE \bot DH\] ] ta có:
\[A{D^2} = AH.AE = 4.\left[ {4 + 2} \right] = 24\]
\[\Rightarrow AD = 2\sqrt 6 \left[ {cm} \right]\]
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ADB vuông tại A với AH là đường cao ta có:
\[\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{D^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}}\]
\[\Rightarrow \dfrac{1}{{A{B^2}}} = \dfrac{1}{{A{H^2}}} - \dfrac{1}{{A{D^2}}} = \dfrac{1}{{{4^2}}} - \dfrac{1}{{24}} = \dfrac{1}{{48}}\]
\[\Rightarrow AB = 4\sqrt 3 \;\;cm.\]
Diện tích hình chữ nhật ABCD là: \[{S_{ABCD}} = AB.AD = 4\sqrt 3 .2\sqrt 6 = 24\sqrt 2 \left[ {c{m^2}} \right]\]
Câu IV.
Cho đường tròn \[\left[ {O;R} \right]\] đường kính AB, một dây CD cắt đoạn thẳng AB tại E, tiếp tuyến của [O] tại B cắt các tia AC, AD lần lượt tại M, N.
1]Chứng minh rằng \[\angle ACD = \angle ANM\]
Ta có \[\angle ACB = {90^0}\] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn] \[ \Rightarrow BC \bot AC \Rightarrow BC \bot AM\].
\[ \Rightarrow \angle CMN + \angle MBC = {90^0}\] [tam giác BCM vuông tại C]
Mà \[\angle ABC + \angle MBC = \angle ABM = {90^0}\,\,\left[ {gt} \right]\]
\[ \Rightarrow \angle ABC = \angle CMN\]. [cùng phụ với \[\angle CBM\]]
Mà \[\angle ADC = \angle ABC\] [hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC].
\[ \Rightarrow \angle ADC = \angle CMN\].
Lại có \[\angle ADC + \angle CDN = {180^0}\] [kề bù] \[ \Rightarrow \angle CMN + \angle CDN = {180^0}\].
\[ \Rightarrow \] Tứ giác CDNM là tứ giác nội tiếp [tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800].
\[ \Rightarrow \angle ACD = \angle ANM\] [góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp].
2]Chứng minh rằng \[AC + AD + AM + AN > 8R\]
Ta có \[\angle ACB = \angle ADB = {90^0}\] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABM ta có: \[A{B^2} = AC.AM\]
\[\Rightarrow AM = \dfrac{{A{B^2}}}{{AC}} = \dfrac{{4{R^2}}}{{AC}}\]
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABN ta có: \[A{B^2} = AD.AN \]
\[\Rightarrow AN = \dfrac{{A{B^2}}}{{AD}} = \dfrac{{4{R^2}}}{{AD}}\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow AC + AD + AM + AN = AC + AD + \dfrac{{4{R^2}}}{{AC}} + \dfrac{{4{R^2}}}{{AD}}\\ = \left[ {AC + \dfrac{{4{R^2}}}{{AC}}} \right] + \left[ {AD + \dfrac{{4{R^2}}}{{AD}}} \right]\mathop \ge \limits^{Cauchy} 2\sqrt {AC.\dfrac{{4{R^2}}}{{AC}}} + 2\sqrt {AD.\dfrac{{4{R^2}}}{{AD}}} = 2.2R + 2.2R = 8R\end{array}\]
Dấu bằng xảy ra \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = \dfrac{{4{R^2}}}{{AC}}\\AD = \dfrac{{4{R^2}}}{{AD}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = 2R\\AD = 2R\end{array} \right.\] , khi đó \[C \equiv D \equiv M \equiv N \equiv B\]
Câu V:
1] Giải phương trình: \[{x^2} + 2 = 2\sqrt {{x^3} + 1} .\]
Điều kiện: \[{x^3} + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 1.\]
\[\begin{array}{l}\;\;\;\;{x^2} + 2 = 2\sqrt {{x^3} + 1} \\ \Leftrightarrow {\left[ {{x^2} + 2} \right]^2} = 4\left[ {{x^3} + 1} \right]\;\;\;\forall x \ge - 1\\ \Leftrightarrow {x^4} + 4{x^2} + 4 = 4{x^3} + 4\\ \Leftrightarrow {x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left[ {{x^2} - 4x + 4} \right] = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}{\left[ {x - 2} \right]^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 0\\{\left[ {x - 2} \right]^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\;\;\;\left[ {tm} \right]\\x = 2\;\;\;\left[ {tm} \right]\end{array} \right..\end{array}\]
Vậy phương trình có tập nghiệm \[S = \left\{ {0;\;2} \right\}.\]
2] Cho x, y là các số không âm thỏa mãn \[x + y = 4\]. Chứng minh \[{x^2}{y^2}\left[ {{x^2} + {y^2}} \right] \le 128\]
Theo bài ra ta có:
\[{\left[ {x + y} \right]^2} = {4^2} = 16\]
\[\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2xy = 16\]
\[\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 16 - 2xy\]
Từ đó suy ra
\[{x^2}{y^2}\left[ {{x^2} + {y^2}} \right] \le 128\]
\[\Leftrightarrow {x^2}{y^2}\left[ {16 - 2xy} \right] \le 128\]
Đặt \[t = xy\] ta có \[0 \le xy \le \dfrac{{{{\left[ {x + y} \right]}^2}}}{4} = \dfrac{{16}}{4} = 4 \] \[\Rightarrow 0 \le t \le 4\].
\[ \Rightarrow {t^2}\left[ {16 - 2t} \right] \le 128\] với \[t \le 4\] \[ \Leftrightarrow 8{t^2} - {t^3} - 64 \le 0\] với \[0 \le t \le 4\]
Ta cần chứng minh \[8{t^2} - {t^3} - 64 \le 0\] với \[0 \le t \le 4\]
Ta có
\[\begin{array}{l}\,\,\,8{t^2} - {t^3} - 64\\ = \left[ {t - 4} \right]\left[ { - {t^2} + 4t + 16} \right]\\ = \left[ {t - 4} \right]\left[ { - t\left[ {t - 4} \right] + 16} \right]\end{array}\]
Với \[0 \le t \le 4 \Rightarrow t - 4 \le 0\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow t\left[ {t - 4} \right] \le 0 \\\Leftrightarrow - t\left[ {t - 4} \right] \ge 0 \Leftrightarrow - t\left[ {t - 4} \right] + 16 \ge 16 > 0\\ \Rightarrow \left[ {t - 4} \right]\left[ { - t\left[ {t - 4} \right] + 16} \right] \le 0\end{array}\]
Do đó bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu bằng xảy ra \[ \Leftrightarrow t = 4 \Leftrightarrow x = y = 2\].