Biến cố là gì Toán 11

Lý thuyết xác suất và biến cố

A. Tóm tắt kiến thức: Xác suất và biến cố

1. Quan niệm chung về xác suất

Xác suất của biến cố A là số đo khả năng xảy ra của biến cố A.

2. Định nghĩa cổ điển của xác suất

Định nghĩa:
Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử T và phép thử T có một số hữu hạn kết quả có thể có, đồng khả năng. Khi đó ta gọi tỉ số$\dfrac{n[A]}{n[\Omega]}$ là xác suất của biến cố A
được kí hiệu là P[A] =$\dfrac{n[A]}{n[\Omega]}$
Trong đó, n[A] là số phần tử của tập hợp A, cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử T thuận lợi cho biến cố A; còn n[Ω] là số phần tử của không gian mẫu Ω, cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử T.
Chú ý:
Để vận dụng được định nghĩa cổ điển của xác suất, phải có hai điều kiện sau đây:
– Số các kết quả có thể có của phép thử là hữu hạn;
– Các kết quả có thể có của phép thử là đồng khả năng.

3. Các tính chất cơ bản của xác suất

3.1 Định lí
a] P[Φ] = 0; P[Ω] = 1.
b] 0 ≤ P[A] ≤ 1, với mọi biến cố A.
c] Nếu A và B xung khắc với nhau, thì ta có
P[A ∪ B] = P[A] + P[B] [công thức cộng xác suất].
3.2 Hệ quả
Với mọi biến cố A, ta luôn luôn có: P[$ \overline{A}$] = 1 – P[A].

4. Hai biến cố độc lập

Định nghĩa:
Hai biến cố [liên quan đến cùng một phép thử] là độc lập với nhau khi và chỉ khi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia [nói cách khác là không làm ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố kia].
Định lí:
Nếu A, B là hai biến cố [liên quan đến cùng một phép thử] sao cho P[A] > 0,
P[B] > 0 thì ta có:
a] A và B là hai biến cố độc lập với nhau khi và chỉ khi:
P[A . B] = P[A] . P[B].
Chú ý: Kết quả vừa nêu chỉ đúng trong trường hợp khảo sát tính độc lập chỉ của 2 biến cố.
b] Nếu A và B độc lập với nhau thì các cặp biến cố sau đây cũng độc lập với nhau:
A và $ \overline{B}$,$ \overline{A}$ và B, $ \overline{A}$ và $ \overline{B}$

Đại số, Toán lớp 11 - Tags: biến cố, đại số 11, xác suất

• Bảng phân bố tần số và tần suất

• Dấu của tam thức bậc hai

• Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

• Dấu của nhị thức bậc nhất

• Lý thuyết phương sai và độ lệch chuẩn

• Khái niệm tập hợp, biểu đồ Ven

• Lý thuyết về các tập hợp số

§5. XÁC SUẤT CỦA BIẾN cố A. KIẾN THỨC CĂN BẢN ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT n[o] Định nghĩa: Giả sử A là một biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đổng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số n[-- là xác suất của biến cô' A, kí hiệu là P[A]. P[A] = n[A] n[Q] CÁC TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT Định lí P[0] = 0, P[Q] = 1. 0 < P[A] < 1, với mọi biến cố A. Nếu A và B xung khắc, thì P[A uB] = P[A] + P[B] [công thức cộng xác suất]. Hệ quả: Với mọi biến cố A, ta có: P[ A ] = 1 - P[A]. CÁC BIẾN Cô' ĐỘC LẬP, CÕNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P[A.B] = P[A].P[B]. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đổng chất hai lần. Hãy mô tả không gian mẫu; Xác định các biến cố sau: A: “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn 10”; B: “Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất một lần". Tinh P[A], PlB]. ỐỊiải Không gian mẫu Q = {[i, j]| 1 < i, j < 6}. Biến cô': “Tổng sô' chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn 10” là A = {[4, 6], [6, 4], [5, 5], [5, 6], [6, 5], [6, 6]}. PíB] = n[B] n[Q] 11 36 Biên cô': “Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhâ't một lần” là B = {[1, 5], [2, 5], [3, 5], [4, 5], [5, 5], [6, 5], [5, 1], [5, 2], [5, 3], [5, 4], [5, 6]}. Ta có: P[A] = = A = 1; n[fi] 36 6 Có bốn tấm bla như nhau được đánh sô’ từ 1 đến 4. Rút ngẫu nhiên ba tấm. Hãy mô tả không gian mẫu. Xác định các biến cỏ’ sau: A: “Tổng các sô’ trên ba tấm bằng 8”; B: “Các sô’ trên ba tấm bia là ba số tự nhiên liên tiếp”. Tính P[A], P[B]. Ố^lải Không gian mẫu Q = 1[1, 2, 3], [1, 2, 4], [1, 3, 4], [2, 3, 4]1; n[Q] = 4 Biến cố: “Tổng các số trên ba tấm bìa bằng 8” là A = {[1, 3, 4]}, n[A] = 1; Biến cố: “Các sô' trên ba tấm bìa là ba sô' tự nhiên liên tiếp” là B = {[1, 2, 3], [2, 3, 4]}, n[B] = 2 c] Ta có: P[A] = n[A] n[Q] 1. 4 n[B] 2 1 n[Q] - 4 ■ 2 Một người chọn ngẫu nhiên hai chiếc giày từ bổn đôi giày cỡ khác nhau. Tính xác suất để hai chiếc chọn được tạo thành một đôi. ỐỊiẦi Ta có 8 chiếc giày từ bô'n đôi giày cỡ khác nhau. Chọn ngẫu nhiên 2 chiếc giày từ 8 chiếc giày nên mỗi lần chọn 2 chiếc giày là một tổ hợp chập 2 của 8 phần tử. Vậy sô' phần tử của không gian mẫu là n[Q] - 28 - 7 ■ Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt b chấm, xét phương trình X2 + bx + 2 = 0. Tính xác suất sao cho: Phương trinh có nghiệm; b] Phương trinh vô nghiệm; Phương trình có nghiệm nguyên. ỐỊiẦl Không gian mẫu Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; n[Q] = 6. Phương trình X2 + bx + 2 = 0 có nghiệm A = b2 - 8 > 0 |b| > 2\Í2 Gọi A là biến cố: “Phương trình có nghiệm”. Ta có A = {3, 4, 5, 6}, n[A] = 4. Vậy P[A] = n[B] 21 n[Q] - 6 - 3 Gọi B là biến cô': “Phương trình vô nghiệm”. Ta có: B = Ã = H, 2] => n[B] = 2. Vậy P[B] = Lần lượt thay b = 3, b = 4, b = 5, b = 6 ta thây chỉ có b = 3 thì phương trình X2 + bx + 2 = 0 có nghiệm nguyên [vì với b = 4, b = 5, b = 6 thì A không là sô' chính phương nên phương trình không có nghiêm nguyên] Gọi c là biến cô': “Phương trình có nghiệm nguyên” ta có c = {3}, do dó P[C] = ị. Tử cỗ bài tú lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên cùng một lúc bốn con Tính xác suất sao cho: a] Cả bốn con đểu lá át, b] Được ít nh'ất một con át; Được hai con át và hai con K. ốịiẦl Không gian mẫu gồm các tồ hợp chập 4 cua 52 [con]. Vậy n[Q] = Cg2 = 270 725. Kí hiệu A, B, c là các biến cố cần tính xác suất tương ứng với các câu a], b], c]. Ta có n[A] = C? = 1, P[A] = ^44? = ' 0,0000037. n[Q] 270725 Gọi B là biến cô": “Trong bốn con bài rút ra có ít nhất một con Át” thì B là biến cố: “Trong bôn con bài rút ra không có con Át nào”. Vì n[ B ] = c^g = 194580 _ n[B 194580 — Nên P[ B ] = —= ___ * 0,7187 : P[B] = 1 - P[ B ] 0,2813. n[Q] 270725 n[C] = c2.c2. = 36, P[C] = = —If— = 0,000133. n[Q] 270725 Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau. Tính xác suất sao cho: Nam, nữ ngồi đối diện nhau; 1 2 3 4 Ốịlải Nữ ngồi đối diện nhau. Ta đánh số bôn ghế như hình vẽ. Kí hiệu A: “Nam, nữ ngồi dôi diện nhau”, B: “Nữ ngồi đốì diện nhau”. Xếp nam ngồi ở ghế © và ghế ©: Có 2 cách. Sau đó xếp nữ ngồi ở ghế ® và ghế ©: Có 2 cách. Trường hợp này theo quy tắc nhân có 2.2 = 4 cách Đổi chỗ cho hai bạn đối diện cho nhau, có 4 cách Vậy sô' cách để nam, nữ ngồi đối diện là 4.4 ■- 16 cách Không gian mẫu là hoán vị của 4 phần tử nên n[Q] - 4! = 24 Xác suất đê nam, nữ ngồi đốì diện nhau là: P[A] = 4— = 4. 24 3 b] Vì có 2 nam và 2 nữ xẽp vào 4' ghê như hình vẽ nên khi nữ ngồi đôi diện nhau thì lập tức nam cũng ngồi đối diện nhau. Mặt khác, các cách xếp chỉ có thế là nam nữ ngồi đôi diện hoặc nữ đối diện nhau, hoặc nam đòi diện nhau, do đó trong trường hợp này B = A . Vậy: P[B] = P[ A ] = 1 - P[A] = ị . • 3 7, Có hai hộp chứa các quả cấu. Hộp thử nhất chua 6 quả trắnq. 4 quả đen. Hộp thứ hai chứa 4 quả trắng, 6 quả đen. Tù mồi hộp lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu: A là biến cố' "Quả lấy tử hộp thứ nhất trắng"; B là biến cố: “Quả lấy từ hộp thứ hai tiắng". Xét xem A vá B có độc lập không. Tinh xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu. Tính xác suất sao cho hai quả cáu lấy ra khác máu'. ốỊiải Đánh sô’ các quả cầu trong mỗi hộp từ 1 đến 10 sao cho các quả cầu trắng trong hộp 1 được đánh số từ 1 đến 6 và các quả cẩu trắng trong hộp thứ hai được đánh số từ 1 đến 4. Ta có Q = {[i, j] 11 < i , j < 10}; n[O] = 10.10 = 100 a] Ta có A = {[i, j] 11 < i < 6; 1 < j < 10}; B = }[i, j]|l < i < 10; 1 < j < 4}. n[A] = 6.10 = 60; 6.10 _ 6 . - 10 ’ Từ đó P[A] = 10.10 AB = {[i, j]| 1 < i < 6; 1 < j < 4}; 6.4 P[AB] = 10.10 n[B] = 10.4 = 40 10.4 _ 4 “ 10 P[B] = 10.10 n[AB] = 6.4 = 24 - P[A].P[B]. Vậy: A và B độc lập. Kí hiệu biến cô’ C: “Lây được hai quả cùng màu”. Ta có c = A.B u A.B. Do hai biến cô’ AB, AB xung khắc và A, B là hai biến cố độc lập nên P[C] = P[AB] + P[ AB ] = P[A]P[B] + P[ A ]P[ B ] 24. 24 _ 48 _ 12 " ĩõõ + 100 ” 100 - 25 ' Do biến cô’ “Lấy được hai quả khác màu” là c nên xác suâ’t cần tìm là P[C ] = 1 - P[C] = 13 25 ' c. BAI TẠP LAM THEM 1. Một hộp đựng 10 viên bi trong đó có 6 viên bi màu xanh và 4 viên bi màu đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 viên bi Cả 3 viên đều là bi màu xanh. ít nhất 1 viên bi là màu xanh. ĐS:a]ịặ- = i; b] 1- c?o 6 Tính xác suất đê trong 3 viên bi lây ra có: _ 1 1 _ 29 cf0 30 30 ' Trong một hộp có 12 bóng đèn giống nhau, trong đó có 4 bóng hỏng. Lấy ngẫu nhiên ra 3 bóng. Tính xác suất để: a] Được 3 bóng tốt. b] Được 3 bóng hỏng. c] Được đúng 1 bóng tốt. ĐS: a] f;3 b] ã c3 12 c] pi c,? ^8-^4 p3 ^12 Cho hai hôp bi. Hộp thứ nhất có 7 bi xanh và 3 bi đỏ. Hộp thứ hai có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Từ mỗi hộp lấy ra 1 viên bi. Tính xác suất để: Được 1 bi xanh và 1 bi đỏ. Được 2 bi đỏ. Được ít nhất 1 bi đỏ. ĐS: Ap Biến cô lấy ờ hộp thứ nhất là đó. A2: Biến cố lấy ở hộp thứ hai là đỏ. 1] A = Aj Aa + AiA2là biến cố lấy 1 xanh và 1 đỏ 2] P[A]= A 6 7 4 10 10 10 10 P[B] = P[A,A2] = JL ± ĩõ'ĩõ 46 100 = 12 - ĩõõ P[A] + P[B] = 100

Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó được gọi là một phép thử. Các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là biến cố.

Mục lục

• 1 Phép thử ngẫu nhiên
• 2 Không gian mẫu
• 3 Biến cố
  • 3.1 Một số loại biến cố
  • 3.2 Các phép toán trên biến cố
• 4 Xác suất của biến cố
  • 4.1 Định nghĩa
  • 4.2 Tính chất

Phép thử ngẫu nhiên

Phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm mà ta không đoán trước được kết quả, tuy nhiên ta có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể của phép thử đó.

Trong "Xác suất" ở trường phổ thông, ta chỉ xét những phép thử ngẫu nhiên có hữu hạn các kết quả có thể có.

Ta sẽ gọi tắt "phép thử ngẫu nhiên" là phép thử.

Ví dụ:

i] Tung đồng tiền lên là một phép thử. Đồng tiền lật mặt nào đó [sấp hay ngửa] là một biến cố. ii] Bắn một phát súng vào một cái bia là một phép thử. Viên đạn đó [trúng hay trật] bia là một biến cố. iii] Ném một quân súc sắc. Súc sắc có thể là từ 1 đến 6 là một biến cố.

Không gian mẫu

Tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử T được gọi là không gian mẫu của phép thử T và kí hiệu là Ω.

Ví dụ: Trong một đồng xu thì Ω = {sấp; ngửa} Ném một quân súc sắc thì Ω = {1;2;3;4;5;6}

Biến cố

Biến cố là tập con của không gian mẫu.

Ví dụ: Tung một đồng xu hai lần thì Ω = {SS;SN;NS;NN} A là biến cố "cả hai lần xuất hiện mặt giống nhau" => A = {SS;NN}

Một số loại biến cố

• Biến cố sơ cấp: là biến cố không thể phân tích được nữa. Ví dụ, tung một đồng tiền, biến cố xuất hiện mặt sấp hoặc biến cố xuất hiện mặt ngửa gọi là các biến cố sơ cấp

• Biến cố chắc chắn [Ω]: là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử. Kí hiệu là Omega. Ví dụ khi tung một con xúc xắc thì biến cố mặt con xúc xắc có số chấm nhỏ hơn 7 là một biến cố chắc chắn.

• Biến cố ngẫu nhiên: là biến có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử. Phép thử mà các biến cố của nó là các biến cố ngẫu nhiên gọi là phép thử ngẫu nhiên.

• Biến cố không thể [Φ]: là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện phép thử. Kí hiệu là . Như vậy "biến cố không thể" không bao hàm một biến cố sơ cấp nào, nghĩa là không có biến cố sơ cấp nào thuận lợi cho biến cố không thể.

• Biến cố xung khắc: hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu chúng không đồng thời xảy ra trong một phép thử. Ví dụ, khi tung một đồng tiền, biến cố xuất hiện mặt sấp [A] và biến cố xuất hiện mặt ngửa [B] là 2 biến cố xung khắc. Tích của 2 biến cố xung khắc luôn luôn bằng 0 [AB = 0]

Các phép toán trên biến cố

Phép thử có không gian mẫu là Ω; A,B là biến cố.

• : Biến cố hợp [A hoặc B]
• : Biến cố giao [A và B]
• : Biến cố đối của A
• : A,B xung khắc

Xác suất của biến cố

Định nghĩa

Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử T và phép thử T có một số hữu hạn kết quả có thể có, đồng khả năng. Khi đó ta gọi tỉ số

là xác suất của biến cố A.

Kí hiệu là

.

Trong đó:

• n[A] là số phần tử của tập hợp A, cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử T thuận lợi cho biến cố A
• là số phần tử của không gian mẫu Ω, cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử T.

Tính chất

• Quy tắc cộng xác suất:

• A, B xung khắc [] =>
• Nếu
  =>

• Quy tắc nhân xác suất:

• A, B độc lập =>
  [A,B gọi là độp lập nếu việc xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra của biến cố kia]