Nội dung bài viết gồm 2 phần:
- Ôn tập lý thuyết
- Hướng dẫn giải bài tập sgk
Công thức: Với a, b là những số thực tùy ý và với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có:
| [a + b]n = C0n an + C1n an – 1b + C2n an – 2b2 + … + Cnn – 1 abn – 1 + Cnnbn |
Hệ quả:
$2^{n}= C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + ... + C_{n}^{n}$
- Với a = 1 và b = - 1 ta có:
Quy ước: Với a là số thực khác 0 và n là số tự nhiên khác 0, ta quy ước:
$a^{0}=1 ; a^{-n} = a^{\frac{1}{n}}$Từ công thức: $C_{n}^{k} = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^{k}$ suy ra cách tính các số ở mỗi dòng dựa vào các số ở dòng trước đó.
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Câu 1: Trang 57 - sgk đại số và giải tích 11
Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu - tơn:
a] [a + 2b]5;
b] [a - √2]6;
c] [x - \[\frac{1}{x}\]]13.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 2: Trang 58 - sgk đại số và giải tích 11
Tìm hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức: [x + \[\frac{2}{x^{2}}\]]6.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 3: Trang 58 - sgk đại số và giải tích 11
Biết hệ số của x2 trong khai triển của [1 - 3x]n là 90. Tìm n.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 4: Trang 58 - sgk đại số và giải tích 11
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của [x3 + \[\frac{1}{x}\]]8
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 5: Trang 57 - sgk đại số và giải tích 11
Từ khai triển biểu thức [3x – 4]17 thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 6: Trang 58 - sgk đại số và giải tích 11
Chứng minh rằng:
a] 1110 – 1 chia hết cho 100;
b] 101100– 1 chia hết cho 10 000;
c] $\sqrt{10}[[1 + \sqrt{10}]100 – [1- \sqrt{10}]100]$ là một số nguyên
=> Xem hướng dẫn giải
Trắc nghiệm đại số và giải tích 11 bài 3: Nhị thức Niu tơn [P2]
Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn \[...
Câu hỏi: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn \[{{\left[ x-y \right]}^{5}}\].
A \[{x^5} - 5{x^4}y + 10{x^3}{y^2} - 10{x^2}{y^3} + 5x{y^4} - {y^5}\].
B \[{x^5} + 5{x^4}y - 10{x^3}{y^2} + 10{x^2}{y^3} - 5x{y^4} + {y^5}\].
C \[{x^5} - 5{x^4}y - 10{x^3}{y^2} - 10{x^2}{y^3} - 5x{y^4} + {y^5}\].
D \[{x^5} + 5{x^4}y + 10{x^3}{y^2} + 10{x^2}{y^3} + 5x{y^4} + {y^5}\].
Đáp án
A
- Hướng dẫn giải
Phương pháp giải:
Áp dụng Công thức khai triển nhị thức Newton: \[{\left[ {x + y} \right]^n} = \sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i{x^i}.{y^{n - i}}} \].
Giải chi tiết:
\[{\left[ {x - y} \right]^5} = {x^5} - 5{x^4}y + 10{x^3}{y^2} - 10{x^2}{y^3} + 5x{y^4} - {y^5}\].
Chọn: A
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm
Đề thi HK1 môn Toán lớp 11 trường THPT Chu Văn An - Hà Nội - Năm 2017 - 2018 [có lời giải chi tiết]
Lớp 11 Toán học Lớp 11 - Toán học
§3. NHỊ THỨC NIU-TƠN [NEWTON] A. KIẾN THỨC CĂN BẢN CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU-TƠN [a + b]" = c°an + C^an-1b +... + cka"-kbk +... + c"bn = X cka"-kbk TAM GIÁC PA-XCAN [PASCAL] Muốn khai triển [a + b]n thành đa thức, ta cần biết n + 1 số c°, cj|,c2,...,c" có mặt trong công thức nhi thức Niu-tơn. Ta có thể tìm được chúng bằng cách sử dụng bằng số sau đây: 1 1 1 1 5 10 X A > 15 20 15 6 Tam giác Pa-xcan được lập theo quy luật sau: Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1. Nếu biết hàng thứ n [n > 1] thì hàng thứ n + 1 tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng. Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn: 5 / Ỹ3 [a + 2b]5; b] [a - \Í2 ] ; c] X-- . ố^lắi [a + 2b]5 = ị ck.a5_k.[2b]k = a5 + cỉ.a4.[2b/ + ợ?.a3.[2b]2 + k=0 + Cg.a2.[2b]3 + Cg.a.[2b]4 + c| [2b]5 = a5 + 10a4b + 40a3b + SOaV + 80ab4 + 32b5 [a - M = X c6ka6-k [-72]k k=0 = a6 - 6a5 72 + 15a4 [72]2 - 20a3 [72]3 + 15a2 [Tã]4 - 6a [Tã]5 + [Vã]6 Ta Có [x + |} = ẳ0C-x6-kB] =kỆ0C-2k-Ặ Hệ số của X3 ứng với k sao cho 6-k = 2k + 3k = l Vậy hệ số của X3 trong khai triển là 2. Cg = 12. Biết hệ số của X2 trong khai triển của [1 - 3x]" là 90, tìm n. Ốịiài Ta CÓ: [1 - 3x]" = £ ck.[-3x]k = J ck.[-3]k .xk k=0 k=0 n! C2 [~3]2 = 90 « = 10 n[n -1] = 20 n = 5. Hệ số của X2 trong khai triển là: 2![n-2]! Tìm số hạng không chứa X trong khai triển của: ^x3 + . úịiẦl / 1 A8 8 , , „s8-k /k-|Ak 8 , v24~3k Tací: *’4 = Z cị X3 .1 =ẳcỉ.ĩ2_ĩ. V x/ k=0 vx/ k=0 x Sô' hạng không chứa X ứng với k thỏa: 24-3k = kok = 6 Vậy sô' hạng không chứa X trong triển khai là Cg = 3360. Tử khai then nhị thức [3x - 4]'7 thành đa thức, hây tinh tổng các hệ sô' của đa thức nhận được. tfiai Tổng các hệ sô’ của đa thức f[x] = [3x - 4]17 là f[ 1] = [-1]17 = -1. Chứng minh rằng: 11'° - 1 chia hết cho 100; 101100 - 1 chia hết cho 10 000; c] ựio /—\'00 r— [1 + V10] -[1-V10] là một số nguyên. ZyZdZ 10 Ta có: ll10 - 1 = [10 + l]10 - 1 = X cw 10k - 1. k=0 10 = 10. cjo - X cío 10k chia hết cho 100 k=2 10 vì 10CỊ0= 100 và X C^o10k ỉ 100 k=2 100 Ta có: 1O1100- 1 = [100 + l]100 - 1 = X cìo0100k -1 k=0 W0 100 = 1 + CjoQ.100 + Xcío0l°Ok -1 = 10000 + Xciool°° ỉ 10000 k=2 k=2 Ta có: [l + 7ĨÕ = X ckoo [xTO] k=0 100 100 , X C^o.lOí + X C^.IOÍVĨÕ 0