Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
Giải các phương trình
LG a
\[f[x] = g[x]\] với \[f[x] = \sin^3 2x\] và \[g[x] = 4\cos2x 5\sin4x\]
Phương pháp giải:
Tính \[f'[x]\], đưa phương trình về dạng tích và giải phương trình lượng giác cơ bản, sử dụng công thức nhân đôi:\[\sin 4x = 2\sin 2x\cos 2x\]
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[f[x] =\sin^3 2x\]
\[ f[x] = 3\sin^2 2x [\sin2x] = 6\sin^2 2x \cos2x\]
Do đó:
\[\eqalign{
& f'[x] = g[x]\cr& \Leftrightarrow 6si{n^2}2x\cos 2x = 4\cos 2x - 5\sin 4x \cr
& \Leftrightarrow 6si{n^2}2x\cos 2x = 4\cos 2x - 10\sin 2x\cos 2x \cr
& \Leftrightarrow \cos 2x[3{\sin ^2}2x + 5\sin 2x - 2] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos 2x = 0\,\,\,\,\,\,[1] \hfill \cr
3{\sin ^2}2x + 5\sin 2x - 2 = 0 \,\,\,\, [2]\hfill \cr} \right. \cr} \]
Giải [1]:\[2x = {\pi \over 2} + k\pi \,\,[k \in \mathbb Z] \Leftrightarrow x = {\pi \over 4} + {{k\pi } \over 2}[k \in \mathbb Z]\]
Giải [2]:\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = - 2\,\,\left[ {ktm} \right]\\\sin 2x = \frac{1}{3}\,\,\,\,\,\left[ {tm} \right]\end{array} \right.\]
\[\eqalign{
& \sin 2x = {1 \over 3} \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x = \arcsin [{1 \over 3}] + k2\pi \hfill \cr
2x = \pi - \arcsin [{1 \over 3}] + k2\pi \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {1 \over 2}\arcsin [{1 \over 3}] + {k\pi } \hfill \cr
x = {\pi \over 2} - {1 \over 2}\arcsin [{1 \over 2}] + {k\pi } \hfill \cr} \right.;k \in \mathbb Z \cr} \]
Tóm lại, phương trình đã cho có ba nghiệm là:
\[\left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + {{k\pi } \over 2} \hfill \cr
x = {1 \over 2}\arcsin [{1 \over 3}] + {k\pi } \hfill \cr
x = {\pi \over 2} - {1 \over 2}\arcsin [{1 \over 2}] + {k\pi } \hfill \cr} \right.;k \in \mathbb Z\]
LG b
\[f[x] = 0\] với \[f[x] = 20\cos 3x + 12\cos 5x 15\cos 4x\].
Phương pháp giải:
Tính \[f'[x]\]
Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích:\[\sin a + \sin b = 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}\]
Đưa phương trình về dạng tích và giải phương trình lượng giác cơ bản.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{array}{l}
f'\left[ x \right] = 20.\left[ {\cos 3x} \right]' + 12\left[ {\cos 5x} \right]' - 15\left[ {\cos 4x} \right]'\\
= 20.\left[ { - 3\sin 3x} \right] + 12.\left[ { - 5\sin 5x} \right] - 15.\left[ { - 4\sin 4x} \right]\\
= - 60\sin 3x - 60\sin 5x + 60\sin 4x
\end{array}\]
Do đó:
\[\eqalign{
& f'[x] = 0 \Leftrightarrow - 60\sin 3x - 60\sin 5x + 60\sin 4x = 0\cr &- \sin 3x - \sin 5x + \sin 4x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sin 5x + \sin 3x - \sin 4x=0 \cr
& \Leftrightarrow 2\sin 4x{\mathop{\rm cosx}\nolimits} - sin4x = 0 \cr
& \Leftrightarrow sin4x[2cosx - 1] = 0 \cr} \]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin 4x = 0 \hfill \cr
{\mathop{\rm cosx}\nolimits} = {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
4x = k\pi \hfill \cr
x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k{\pi \over 4} \hfill \cr
x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in\mathbb Z \cr}\]