Đề bài
Cho hình chóp tứ giác đều \[S.ABCD\], đáy là hình vuông cạnh \[a\], cạnh bên tạo với đáy một góc \[60^0\]. Gọi \[M\] là trung điểm \[SC\]. Mặt phẳng đi qua \[AM\] và song song với \[BD\], cắt \[SB\] tại \[E\] và cắt \[SD\] tại \[F\]. Tính thể tích khối chóp \[S.AEMF\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm của đáy.
Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua \[AM\] và song song với \[BD\] là tức giác \[AEMF.\]
Chứng minh \[AEMF\] có hai đường chéo vuông góc\[ \Rightarrow {S_{AEMF}} = \dfrac{1}{2}AM.EF\]
Chứng minh\[SM \bot \left[ {AEMF} \right]\] \[ \Rightarrow {V_{S.AEMF}} = \dfrac{1}{3}SM.{S_{AEMF}}\]
Lời giải chi tiết
Gọi\[\displaystyle H = AC \cap BD\].
Hình chóp \[\displaystyle S.ABCD\] là hình chóp đều nên chân \[\displaystyle H\] của đường cao \[\displaystyle SH\] chính là tâm của đáy.
Mặt phẳng đi qua \[\displaystyle AM\] và song song với \[\displaystyle BD\] cắt mặt phẳng \[\displaystyle [SDB]\] theo một giao tuyến song song với \[\displaystyle BD\]\. Ta dựng giao tuyến \[\displaystyle EF\] như sau: Gọi \[\displaystyle I\] là giao điểm của \[\displaystyle AM\] và \[\displaystyle SH\]. Qua \[\displaystyle I\] ta dựng một đường thẳng song song với \[\displaystyle BD\], đường này cắt \[\displaystyle SB\] ở \[\displaystyle E\] và cắt \[\displaystyle SD\] ở \[\displaystyle F\].
Ta có: \[\displaystyle HA\] là hình chiếu vuông góc của \[\displaystyle SA\] trên \[\displaystyle [ABCD]\]\[\displaystyle \Rightarrow \widehat {\left[ {SA;\left[ {ABCD} \right]} \right]} = \widehat {\left[ {SA;AH} \right]} = \widehat {SAH} = {60^0}\]
Tam giác cân \[\displaystyle SAC\] có \[\displaystyle SA = SC\] và góc \[\displaystyle SAC = 60^0\]nên nó là tam giác đều: \[\displaystyle I\] là giao điểm của các trung tuyến \[\displaystyle AM\] và \[\displaystyle AH\] nên \[I\] là trọng tâm của tam giác đều \[SAC\] \[\displaystyle \Rightarrow {{SI} \over {SH}} = {2 \over 3}\]
Do \[\displaystyle EF // DB \] \[\displaystyle \Rightarrow {{{\rm{EF}}} \over {DB}} = {{SF} \over {SD}} = {{SE} \over {SB}} = {{SI} \over {SH}} = {2 \over 3}\]
Vì \[\displaystyle DB = a\sqrt2\] \[\displaystyle \Rightarrow {\rm{EF}} = {{2a\sqrt 2 } \over 3}\]
Tam giác \[\displaystyle SAC\] là tam giác đều nên \[\displaystyle AM = {{AC\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 6 } \over 2}\]
Ta lại có \[\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left[ {SAC} \right] \] \[\Rightarrow BD \bot AM \Rightarrow AM \bot EF\]
Tứ giác \[\displaystyle AEMF\] có hai đường chéo vuông góc với nhau nên có diện tích: \[\displaystyle {S_{AEMF}} = {1 \over 2}{\rm{EF}}.AM = {1 \over 2}.{{2a\sqrt 2 } \over 3}.{{a\sqrt 6 } \over 2} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 3}\]
Mặt khác, tam giác \[\displaystyle ASC\] là tam giác đều, \[\displaystyle M\] là trung điểm của \[\displaystyle SC\] nên \[\displaystyle AM \bot SC\]. Ta cũng có \[\displaystyle DB \bot [SAM]\] \[\displaystyle \Rightarrow DB \bot SC\] vì \[\displaystyle DB // EF\] nên \[\displaystyle EF \bot SC\]. Từ kết quả trên, suy ra \[\displaystyle SM \bot[AEMF]\].
Dễ thấy \[\displaystyle SM = {{a\sqrt 2 } \over 2}\] [do tam giác \[\displaystyle SAC\] đều]. Do đó: \[\displaystyle {V_{S.AEMF}} = {1 \over 3}.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 3}.{{a\sqrt 2 } \over 2} = {{{a^3}\sqrt 6 } \over {18}}\].