Đề bài
Gọi \[S\] là diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay được sinh ra bởi đoạn thẳng \[AC'\] của hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] có cạnh \[b\] khi quay xung quanh trục \[AA'\]. Diện tích \[S\] là:
[A] \[πb^2\]; [B] \[πb^2\sqrt 2 \] ;
[C] \[πb^2\sqrt 3 \] ; [D] \[πb^2\sqrt 6 \].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Khi quay \[AC'\] xung quanh trục \[AA'\] ta được hình nón đỉnh A có chiều cao \[AA'\], đường sinh \[AC'\] và bán kính đáy \[A'C'\].
Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón:\[{S_{xq}} = \pi rl\], trong đó \[r;l\] lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón.
Lời giải chi tiết
Hình nón tạo bởi khi quay \[AC'\] xung quanh \[AA'\] có đường sinh \[l=AC'\] và bán kính đáy \[r=C'A'\]
Xét tam giác vuông \[A'B'C'\] có: \[A'C' = \sqrt {A'B{'^2} + B'C{'^2}} = \sqrt {{b^2} + {b^2}} = b\sqrt 2=r \]
Xét tam giác vuông \[AA'C'\] có: \[AC' = \sqrt {AA{'^2} + A'C{'^2}} = \sqrt {{b^2} + 2{b^2}} = b\sqrt 3=l \]
Vậy\[{S_{xq}} = \pi rl = \pi b\sqrt 2 .b\sqrt 3 = \pi {b^2}\sqrt 6 \]
Chọn [D].