Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
Trong không gian cho ba điểm \[A, B, C\].
LG a
Xác định điểm \[G\] sao cho \[\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} - 2\overrightarrow {GC} = 0.\]
Phương pháp giải:
Biến đổi đẳng thức vector trong câu a] theo những điểm cố định và suy ra vị trí của điểm G.
Lời giải chi tiết:
Ta có
\[\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} - 2\overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + 2\left[ {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GC} } \right] = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {CB} = 0\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {GA} = 2\overrightarrow {BC}
\end{array}\]
Gọi \[D\] là điểm mà \[\overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {BC} \]tức là điểm \[B\] là trung điểm của \[CD\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {GA} = \overrightarrow {DC} \]
Vậy \[G\] là đỉnh thứ tư của hình bình hành \[ACDG\].
LG b
Tìm tập hợp các điểm \[M\] sao cho \[MA^2+ 2MB^2- 2MC^2= k^2\], với \[k\] là hằng số.
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức ba điểm, chèn điểm G vào tất cả các vector\[\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {MB} ;\overrightarrow {MC} \], biến đổi và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Gọi \[G\] là điểm trong câu a]: \[\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} - 2\overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \].
Ta có: \[M{A^2} = {\overrightarrow {MA} ^2}= {[\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} ]^2}\]
\[= M{G^2} + G{A^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA} \];
\[M{B^2} = {\overrightarrow {MB} ^2} = {[\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} ]^2}\]
\[= M{G^2} + G{B^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB} \];
\[M{C^2} = {\overrightarrow {MC} ^2} = {[\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} ]^2} \]
\[= M{G^2} + G{C^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC} \].
Từ đó \[MA^2+2 MB^2-2 MC^2= k^2\]
\[ \Leftrightarrow M{G^2} + G{A^2} + 2G{B^2} - 2G{C^2} \]
\[+ 2\overrightarrow {MG} [\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} - 2\overrightarrow {GC} ] = {k^2}\]
\[ \Leftrightarrow M{G^2} = {k^2} - [G{A^2} + 2G{B^2} - 2G{C^2}]\]
[Vì \[\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} - 2\overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \]].
Do vậy:
Nếu \[k^2- [GA^2+ 2GB^2- 2GC^2] = r^2> 0\] thì tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm G bán kính r.
Nếu \[k^2- [GA^2+ 2GB^2- 2GC^2] = r^2 =0\] thì tập hợp M chính là điểm G.
Nếu \[k^2- [GA^2+ 2GB^2- 2GC^2] = r^2 < 0\] thì tập hợp các điểm M chính là tập rỗng.