Mã đề thi 486
PHẦN I : TRẮC NGHIỆM
Câu 1 [TH]: Nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 2 x - y = - 1\\3x - \sqrt 2 y = 2\end{array} \right.\] là
A. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - \sqrt 2 \\y = 3 - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\]
B. \[\left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 - 2\\y = 2\sqrt 2 - 3\end{array} \right.\]
C. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 2 \\y = 3 + 2\sqrt 2 \end{array} \right.\]
D. \[\left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 + 2\\y = 2\sqrt 2 - 3\end{array} \right.\]
Câu 2 [TH]: Cho \[\overrightarrow u = \left[ {2; - 2} \right],\,\,\overrightarrow v = \left[ {1;8} \right]\]. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. \[\overrightarrow u + \overrightarrow v \] và \[\overrightarrow b = \left[ {1;2} \right]\] cùng hướng
B. \[2\overrightarrow u + \overrightarrow v ,\,\,\overrightarrow v \] cùng phương
C. \[\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v \] cùng phương
D. \[\overrightarrow u - \overrightarrow v \] và \[\overrightarrow a = \left[ {1; - 10} \right]\] ngược hướng
Câu 3 [TH]: Hàm số nào trong 4 phương án liệt kê ở A, B, C, D có đồ thị như hình bên ?
A. \[y = {x^2} - 4x + 3\] B. \[y = 2{x^2} + 8x + 3\] C. \[y = {x^2} + 4x + 3\] D. \[y = - {x^2} - 4x + 3\]
Câu 4 [NB]: Trong các hàm số sau, hàm số bậc nhất là :
A. \[y = \dfrac{{2x - 2}}{3}\] B. \[y = \dfrac{{ - 2}}{{2x + 1}}\] C. \[y = \dfrac{{mx + 1}}{x}\] D. \[y = \sqrt {mx + x} \]
Câu 5 [TH]: Điều kiện của \[m\] để phương trình \[\left[ {{m^2} - 5} \right]x - 1 = m - x\] có nghiệm duy nhất là :
A. \[m \ne \pm \sqrt 5 \] B. \[m \ne - 2\] C. \[m \ne 2\] D. \[m \ne \pm 2\]
Câu 6 [TH]: Tam giác \[ABC\] vuông ở \[A\] và có góc \[\widehat B = 40^\circ \]. Hệ thức nào sau đây là đúng ?
A. \[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {BC} } \right] = 140^\circ \] B. \[\left[ {\overrightarrow {BC} ,\,\,\overrightarrow {AC} } \right] = 140^\circ \] C. \[\left[ {\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {CB} } \right] = 40^\circ \] D. \[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CB} } \right] = 50^\circ \]
Câu 7 [TH]: Cho \[3\] điểm \[A\left[ {1;4} \right];\,\,B\left[ {3;2} \right]\,;\,\,C\left[ {5;4} \right]\]. Chu vi tam giác \[ABC\] bằng bao nhiêu ?
A. \[8 + 8\sqrt 2 \] B. \[4 + 4\sqrt 2 \] C. \[4 + 2\sqrt 2 \] D. \[2 + 2\sqrt 2 \]
Câu 8 [TH]: Hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}\left[ {m - 1} \right]x - y = 2\\ - 2x + my = 1\end{array} \right.\] có vô nghiệm khi?
A. \[\left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 2\end{array} \right.\] B. \[\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 2\end{array} \right.\] C. \[\left[ \begin{array}{l}m \ne - 1\\m \ne 2\end{array} \right.\] D. \[\left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = - 2\end{array} \right.\]
Câu 9 [VD]: Các đường thẳng \[y = - 5\left[ {x + 2} \right];y = ax + 3;y = 3x + a\] đồng quy với giá trị của \[a\] là:
A. \[ - 11\] B. \[ - 18\] C. \[ - 12\] D. \[ - 10\]
Câu 10 [NB]: Cho hàm số \[y = a{x^2} + bx + c\left[ {a < 0} \right]\] có đồ thị \[\left[ P \right]\]. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left[ { - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right]\]
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left[ { - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}}} \right]\]
C. Đồ thị luôn cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.
D. Đồ thị có trục đối xứng là đường thẳng \[x = - \dfrac{b}{{2a}}\]
Câu 11 [VD]: Số nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 4\\xy = 5\end{array} \right.\] là:
A.\[3\] B. \[2\] C.\[1\] D. \[4\]
Câu 12 [TH]: Gọi \[{x_1},{x_2}\] là 2 nghiệm của phương trình \[{x^2} - 3x + 2 = 0\]. Tổng \[x_1^2 + x_2^2\] bằng:
A. \[10\] B. \[9\] C. \[5\] D. \[8\]
Câu 13 [TH]: Cho biết \[\sin \dfrac{\alpha }{3} = \dfrac{4}{5}\]. Giá trị của \[P = 2{\sin ^2}\dfrac{\alpha }{3} + 5{\cos ^2}\dfrac{\alpha }{3}\] bằng bao nhiêu?
A.\[P = \dfrac{{93}}{{25}}\] B.\[P = \dfrac{{109}}{{25}}\] C.\[P = \dfrac{{111}}{{25}}\] D. \[P = \dfrac{{107}}{{25}}\]
Câu 14 [VD]: Cho tam giác \[ABC\] có \[A\left[ { - 4;0} \right]\], \[B\left[ {4;6} \right]\], \[C\left[ { - 1;4} \right]\]. Trực tâm của tam giác \[ABC\] có tọa độ là:
A. \[\left[ {\dfrac{{76}}{7}; - \dfrac{{120}}{7}} \right]\] B. \[\left[ {0;2} \right]\] C.\[\left[ {4;0} \right]\] D. \[\left[ { - \dfrac{{76}}{7};\dfrac{{120}}{7}} \right]\]
Câu 15 [VD]: Hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{y} = 12\\\dfrac{5}{x} - \dfrac{3}{y} = 1\end{array} \right.\] có nghiệm là:
A. \[\left[ { - 1; - 2} \right]\] B. \[\left[ { - 1; - \dfrac{1}{2}} \right]\] C. \[\left[ {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3}} \right]\] D. \[\left[ { - 1;2} \right]\]
Câu 16 [TH]: Hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}mx + y = m - 3\\4x + my = - 2\end{array} \right.\] có nghiệm duy nhất khi:
A. \[m = 2\] B. \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m \ne - 2\end{array} \right.\] C. \[m = - 2\] D. \[\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 2\end{array} \right.\]
Câu 17 [TH]: Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số \[y = \left| {2{x^2} - 3} \right|\]
A. \[\left[ {0; - 3} \right]\] B. \[\left[ { - 1; - 1} \right]\] C.\[\left[ { - 2;5} \right]\] D.\[\left[ { - 2;12} \right]\]
Câu 18 [TH]: Cho hàm số \[y = 2{x^2} - 4x + 3\] có đồ thị là Parabol \[\left[ P \right]\]. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. \[\left[ P \right]\] có trục đối xứng là \[d:x = 1\]
B. \[\left[ P \right]\] có đỉnh là \[S\left[ { - 1;9} \right]\]
C. \[\left[ P \right]\] không có giao điểm với trục hoành
D. \[\left[ P \right]\] đi qua điểm \[M\left[ { - 1;9} \right]\]
Câu 19 [VD]: Cho tam giác \[ABC\] có \[A\left[ {2;0} \right],\,\,B\left[ {0;3} \right]\,,\,\,C\left[ { - 3;1} \right]\]. Đường thẳng \[d\] đi qua \[A\] và song song với \[BC\] có phương trình là
A. \[2x - 3y - 4 = 0\] B. \[5x + y - 3 = 0\] C. \[x + 5y - 15 = 0\] D. \[x - 15y + 15 = 0\]
Câu 20 [TH]: Hàm số nào sau đây đồng biến trong khoảng \[\left[ { - \infty ;0} \right]\] ?
A. \[y = \sqrt 2 {\left[ {x + 1} \right]^2}\] B. \[\sqrt 2 {x^2} + 1\] C. \[ - \sqrt 2 {\left[ {x + 1} \right]^2}\] D. \[ - \sqrt 2 {x^2} + 1\]
Câu 21 [TH]: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\]
A. \[\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {2; - 1} \right]\] B. \[\overrightarrow {{n_3}} = \left[ {1; - 2} \right]\] C. \[\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {1;2} \right]\] D. \[\overrightarrow {{n_4}} = \left[ {1;2} \right]\]
Câu 22 [VD]: Cho phương trình \[\left[ {1 - \sqrt 2 } \right]{x^4} - \left[ {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right]{x^2} + \sqrt 3 = 0\]. Số các nghiệm dương của phương trình là
A. \[2\] B. \[3\] C. \[4\] D. \[1\]
Câu 23 [VD]: Trong hệ tọa độ \[Oxy\], cho ba điểm \[A\left[ {1;1} \right]\,,\,\,B\left[ {2; - 1} \right]\,,\,\,C\left[ {4;3} \right]\]. Tọa độ điểm \[D\] để \[ABDC\] là hình bình hành là :
A. \[D\left[ {1;3} \right]\] B. \[D\left[ {3;5} \right]\] C. \[D\left[ {3;1} \right]\] D. \[D\left[ {5;1} \right]\]
Câu 24 [TH]: Tam giác \[ABC\] có \[AB = 8cm,\,\,AC = 20cm\] và có diện tích bằng \[64c{m^2}\]. Giá trị \[\sin A\] bằng
A. \[\sin A = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\] B. \[\sin A = \dfrac{8}{9}\] C. \[\sin A = \dfrac{4}{5}\] D. \[\sin A = \dfrac{3}{8}\]
Câu 25 [TH]: Bảng biến thiên của hàm số \[y = 2{x^2} - 4x + 5\] là bảng nào sau đây ?
PHẦN 2 : TỰ LUẬN
Câu 1 [2 điểm]: Giải các phương trình, hệ phương trình sau:
\[a]\,\,\left| {1 - 2x} \right| - \left| {x + 1} \right| = 7\] \[b]\,\,{x^4} + 2{x^2} - 3 = 0\] \[c]\,\,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 3x + 2y\\{y^2} = 3y + 2x\end{array} \right.\]
Câu 2 [1 điểm]: Xác định hàm số bậc hai \[y = a{x^2} + bx + 3\] biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm \[A\left[ { - 1;9} \right]\] và có trục đối xứng \[x = - 2\].
Câu 3 [2 điểm]: a] Cho tam giác \[ABC\] có \[A\left[ {4;2} \right],\,\,B\left[ { - 3; - 4} \right],\,\,C\left[ {4; - 5} \right]\]. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \[A\] và song song với đường thẳng \[BC\].
b] Cho tam giác \[MNP\] có \[MN = 6,\,\,NP = 7\] và \[\widehat M = 60^\circ \]. Tính góc \[\widehat N\] và \[\widehat P\].
ĐÁP ÁN
1C |
6A |
11B |
16B |
21B |
2A |
7B |
12C |
17C |
22A |
3C |
8A |
13A |
18B |
23D |
4A |
9B |
14A |
19A |
24C |
5D |
10D |
15C |
20D |
25B |
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Thực hiện: Ban chuyên môn
Câu 1 [TH]:
Phương pháp:
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số
Cách giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 2 x - y = - 1\\3x - \sqrt 2 y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - \sqrt 2 y = - \sqrt 2 \\3x - \sqrt 2 y = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 2 \\\sqrt 2 x - y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 2 \\y = \sqrt 2 \left[ {2 + \sqrt 2 } \right] + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 2 \\y = 2\sqrt 2 + 3\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[\left[ {x;y} \right] = \left[ {2 + \sqrt 2 ;2\sqrt 2 + 3} \right]\]
Chọn C
Câu 2 [TH]:
Phương pháp:
Cho véc tơ \[\overrightarrow u = \left[ {a;b} \right]\], khi đó \[\overrightarrow v = k\overrightarrow u \,\left[ {k \ne 0} \right]\] cùng hướng với \[\overrightarrow u \Leftrightarrow k > 0\] và ngược hướng với \[\overrightarrow u \Leftrightarrow k < 0.\]
Cách giải:
Ta có: \[\overrightarrow u + \overrightarrow v = \left[ {2 + 1; - 2 + 8} \right] = \left[ {3;6} \right] = 3\left[ {1;2} \right] = 3\overrightarrow u \]
Nên \[\overrightarrow u + \overrightarrow v \] và \[\overrightarrow u \] cùng hướng, do đó A đúng.
Chọn A
Câu 3 [TH]:
Phương pháp:
Xác định một số điểm thuộc đồ thị hàm số rồi thay tọa độ điểm vào các hàm số ở mỗi đáp án để chọn đáp án đúng.
Cách giải:
Từ hình vẽ ta thấy parabol quay bề lõm lên trên do đó \[a > 0\], loại D.
Các điểm \[\left[ { - 2; - 1} \right];\left[ { - 3;0} \right]\] thuộc đồ thị hàm số
Thay \[x = - 2;y = - 1\] vào hàm số ở A, B, C ta thấy chỉ có hàm số \[y = {x^2} + 4x + 3\] thỏa mãn nên C đúng.
Chọn C
Câu 4 [NB]:
Phương pháp:
Hàm số bậc nhất có dạng \[y = ax + b\,\,\left[ {a \ne 0} \right]\]
Cách giải:
Ta có \[y = \dfrac{{2x - 2}}{3} = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{2}{3}\] là hàm số bậc nhất nên A đúng.
Chọn A
Câu 5 [TH]:
Phương pháp:
Phương trình \[ax + b = 0\] có nghiệm duy nhất khi \[a \ne 0.\]
Cách giải:
Ta có \[\left[ {{m^2} - 5} \right]x - 1 = m - x \Leftrightarrow \left[ {{m^2} - 4} \right]x - 1 - m = 0\]
Phương trình trên có nghiệm duy nhất \[ \Leftrightarrow {m^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} \ne 4 \Leftrightarrow m \ne \pm 2\]
Chọn D
Câu 6 [TH]:
Phương pháp:
Để xác định góc giữa hai véc tơ ta đưa hai véc tơ đó về chung gốc.
Cách giải:
Ta có: \[\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right] = {180^0} - \left[ {\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {BC} } \right] = {180^0} - \widehat B = {140^0}\]
Chọn A
Câu 7 [TH]:
Phương pháp:
Chu vi tam giác bằng tổng ba cạnh.
Cho \[A\left[ {{x_1};{y_1}} \right];\,B\left[ {{x_2};{y_2}} \right] \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left[ {{x_2} - {x_1}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_2} - {y_1}} \right]}^2}} \]
Cách giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}AB = \sqrt {{{\left[ {3 - 1} \right]}^2} + {{\left[ {2 - 4} \right]}^2}} = 2\sqrt 2 \\AC = \sqrt {{{\left[ {5 - 1} \right]}^2} + {{\left[ {4 - 4} \right]}^2}} = 4\\BC = \sqrt {{{\left[ {5 - 3} \right]}^2} + {{\left[ {4 - 2} \right]}^2}} = 2\sqrt 2 \end{array}\]
Chu vi tam giác \[ABC\] bằng \[AB + BC + AC = 4 + 4\sqrt 2 .\]
Chọn B
Câu 8 [TH]:
Phương pháp:
Thế \[y\] ở phương trình thứ nhất xuống phương trình thứ hai, rồi biện luận phương trình ẩn \[y\] tìm được.
Cách giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left[ {m - 1} \right]x - y = 2\\ - 2x + my = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \left[ {m - 1} \right]x - 2\\ - 2x + m\left[ {\left[ {m - 1} \right]x - 2} \right] = 1\,\left[ * \right]\end{array} \right.\\\left[ * \right] \Leftrightarrow - 2x + \left[ {{m^2} - m} \right]x - 2m = 1\\ \Leftrightarrow \left[ {{m^2} - m - 2} \right]x = 1 + 2m\,\left[ 1 \right]\end{array}\]
Để hệ phương trình vô nghiệm thì phương trình 1 vô nghiệm, nên:
\[\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m - 2 = 0\\1 + 2m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 2\end{array} \right.\\m \ne - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 2\end{array} \right.\]
Chọn A
Câu 9 [VD]:
Phương pháp:
Tìm giao điểm của hai đường thẳng rồi thay tọa độ giao điểm đó vào phương trình đường thẳng còn lại.
Cách giải:
Xét các đường thẳng: \[\left[ {{d_1}} \right]:y = - 5\left[ {x + 2} \right];\left[ {{d_2}} \right]:y = ax + 3;\left[ {{d_3}} \right]:y = 3x + a\]
Để ba đường thẳng trên cắt nhau thì \[a \ne \left\{ { - 5;3} \right\}\]
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \[\left[ {{d_1}} \right]\] và \[\left[ {{d_3}} \right]\] ta được:
\[\begin{array}{l} - 5\left[ {x + 2} \right] = 3x + a \Leftrightarrow - 5x - 10 = 3x + a\\ \Leftrightarrow 8x = - a - 10 \Rightarrow x = \dfrac{{ - a - 10}}{8} \Rightarrow y = 3.\dfrac{{ - a - 10}}{8} + a = \dfrac{{5a - 30}}{8}\end{array}\]
Thay \[x = \dfrac{{ - a - 10}}{8};y = \dfrac{{5a - 30}}{8}\] vào phương trình đường thẳng \[\left[ {{d_2}} \right]\] ta được:
\[\begin{array}{l}\dfrac{{5a - 30}}{8} = a.\dfrac{{ - a - 10}}{8} + 3\\ \Leftrightarrow 5a - 30 = - {a^2} - 10a + 24\\ \Leftrightarrow {a^2} + 15a - 54 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 18\left[ {tm} \right]\\a = 3\left[ {ktm} \right]\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy \[a = - 18.\]
Chọn B
Câu 10 [NB]:
Phương pháp:
Dựa vào tính chất hàm số và đồ thị hàm số \[y = a{x^2} + bx + c\left[ {a \ne 0} \right]\]
Cách giải:
Hàm số \[y = a{x^2} + bx + c\left[ {a < 0} \right]\] đồng biến trên khoảng \[\left[ { - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}}} \right]\] và nghịch biến trên khoảng \[\left[ { - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right]\]
Nên A, B sai.
Ta chưa kết luận được gì về số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành.
Đồ thị hàm số \[y = a{x^2} + bx + c\left[ {a \ne 0} \right]\] có trục đối xứng là đường thẳng \[x = - \dfrac{b}{{2a}}\] nên D đúng.
Chọn D.
Câu 11 [VD]:
Phương pháp:
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.
Cách giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 4\\xy = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{5}{x}\\{x^2} - {\left[ {\dfrac{5}{x}} \right]^2} = 4\left[ * \right]\end{array} \right.\\\left[ * \right] \Leftrightarrow {x^2} - \dfrac{{25}}{{{x^2}}} = 4\\ \Rightarrow {x^4} - 25 = 4{x^2}\\ \Leftrightarrow {x^4} - 4{x^2} - 25 = 0\end{array}\]
Đặt \[{x^2} = t \ge 0,\] ta có phương trình: \[{t^2} - 4t - 25 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2 + \sqrt {29} \left[ {tm} \right]\\t = 2 - \sqrt {29} \left[ {ktm} \right]\end{array} \right.\]
Suy ra \[{x^2} = 2 + \sqrt {29} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt {2 + \sqrt {29} } \Rightarrow y = \dfrac{5}{{\sqrt {2 + \sqrt {29} } }}\\x = - \sqrt {2 + \sqrt {29} } \Rightarrow y = - \dfrac{5}{{\sqrt {2 + \sqrt {29} } }}\end{array} \right.\]
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm.
Chọn B.
Câu 12 [TH]:
Phương pháp:
Hệ thức Vi-ét:
Nếu \[{x_1};{x_2}\] là hai nghiệm của phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\] thì ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\]
Cách giải:
Xét phương trình \[{x^2} - 3x + 2 = 0\] có \[\Delta = 1 > 0\] nên có hai nghiệm phân biệt \[{x_1};{x_2}.\]
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\\{x_1}{x_2} = 2\end{array} \right.\]
Nên \[x_1^2 + x_2^2 = {\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]^2} - 2{x_1}{x_2} = {3^2} - 2.2 = 5\]
Chọn C.
Câu 13 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng hệ thức \[{\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\,\]
Cách giải:
Ta có \[{\sin ^2}\dfrac{\alpha }{3} + {\cos ^2}\dfrac{\alpha }{3} = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\dfrac{\alpha }{3} = 1 - {\left[ {\dfrac{4}{5}} \right]^2} = \dfrac{9}{{25}}\]
Khi đó: \[P = 3{\sin ^2}\dfrac{\alpha }{3} + 5{\cos ^2}\dfrac{\alpha }{3} = 3.{\left[ {\dfrac{4}{5}} \right]^2} + 5.\dfrac{9}{{25}} = \dfrac{{93}}{{25}}\]
Chọn A
Câu 14 [VD]:
Phương pháp:
Gọi \[H\left[ {x;y} \right]\] là trực tâm tam giác \[ABC\]. Sau đó giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right.\] để tìm \[x;y \Rightarrow H\]
Cách giải:
Ta có: \[\overrightarrow {BC} = \left[ { - 5; - 2} \right];\,\overrightarrow {AC} = \left[ {3;4} \right]\]
Gọi \[H\left[ {x;y} \right]\] là trực tâm tam giác \[ABC\]. Suy ra \[\overrightarrow {AH} = \left[ {x + 4;y} \right];\,\overrightarrow {BH} = \left[ {x - 4;y - 6} \right]\]
Khi đó: \[AH \bot BC;\,BH \bot AC\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {x + 4} \right].\left[ { - 5} \right] - 2y = 0\\\left[ {x - 4} \right].3 + \left[ {y - 6} \right].4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x + 2y + 20 = 0\\3x + 4y - 36 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{76}}{7}\\y = - \dfrac{{120}}{7}\end{array} \right.\end{array}\]
Suy ra \[H\left[ {\dfrac{{76}}{7}; - \dfrac{{120}}{7}} \right]\]
Chọn A.
Câu 15 [VD]:
Phương pháp:
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Cách giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}DK:\,x \ne 0;y \ne 0\\\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{y} = 12\\\dfrac{5}{x} - \dfrac{3}{y} = 1\end{array} \right.\,\,\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{9}{x} + \dfrac{6}{y} = 36\\\dfrac{{10}}{x} - \dfrac{6}{y} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{y} = 12\\\dfrac{{19}}{x} = 38\end{array} \right.\,\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\\dfrac{2}{y} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\y = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\left[ {tm} \right]\end{array}\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm \[\left[ {x;y} \right] = \left[ {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3}} \right]\]
Chọn C
Câu 16 [TH]:
Phương pháp:
Rút \[y\] ở phương trình thứ nhất thế vào phương trình thứ hai rồi biện luận theo phương trình ẩn \[x\] thu được.
Cách giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}mx + y = m - 3\\4x + my = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = m - 3 - mx\\4x + m\left[ {m - 3 - mx} \right] = - 2\left[ * \right]\end{array} \right.\\\left[ * \right] \Rightarrow 4x - {m^2}x + {m^2} - 3m = - 2\\ \Leftrightarrow \left[ {{m^2} - 4} \right]x = {m^2} - 3m + 2\end{array}\]
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi \[{m^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 2.\]
Chọn B
Câu 17 [TH]:
Phương pháp:
Thay tọa độ các điểm ở đáp án vào hàm số để chọn.
Điểm \[M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] thuộc đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right] \Leftrightarrow {y_0} = f\left[ {{x_0}} \right]\]
Cách giải:
Thay tọa độ điểm \[C\left[ { - 2;5} \right]\] vào hàm số ta được: \[5 = \left| {2.{{\left[ { - 2} \right]}^2} - 3} \right| \Leftrightarrow 5 = 5\left[ {ld} \right]\] nên điểm \[C\left[ { - 2;5} \right]\] thuộc đồ thị hàm số đã cho.
Chọn C
Câu 18 [TH]:
Phương pháp:
Đồ thị hàm số \[y = a{x^2} + bx + c\,\left[ {a \ne 0} \right]\]có trục đối xứng \[x = - \dfrac{b}{{2a}}\], có đỉnh là điểm \[I\left[ { - \dfrac{b}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right]\]
Cách giải:
Đồ thị hàm số \[y = 2{x^2} - 4x + 3\] có trục đối xứng \[x = 1,\] có đỉnh là \[I\left[ {1;1} \right]\] nên A đúng, B sai.
Phương trình \[2{x^2} - 4x + 3 = 0\] vô nghiệm do có \[\Delta = - 4 < 0\] nên đồ thị hàm số \[y = 2{x^2} - 4x + 3\] không có giao điểm với trục hoành. Do đó, C đúng.
Thay \[x = - 1\] vào hàm số ta được \[y = 2.{\left[ { - 1} \right]^2} - 4.\left[ { - 1} \right] + 3 = 9\] nên điểm \[M\left[ { - 1;9} \right]\] thuộc đồ thị hàm số \[y = 2{x^2} - 4x + 3.\] Do đó, D đúng.
Chọn B.
Câu 19 [VD]:
Phương pháp:
Đường thẳng đi qua \[M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] và có VTPT \[\overrightarrow n = \left[ {a;b} \right]\] có phương trình tổng quát là:
\[a\left[ {x - {x_0}} \right] + b\left[ {y - {y_0}} \right] = 0\]
Cách giải:
\[\overrightarrow {BC} = \left[ { - 3; - 2} \right]\] là 1 VTCP của đường thẳng \[d\]
Suy ra 1 VTPT của đường thẳng \[d\] là: \[\overrightarrow n \left[ {2; - 3} \right]\]
Phương trình tổng quát của đường thẳng \[d:2\left[ {x - 2} \right] - 3y = 0 \Leftrightarrow 2x - 3y - 4 = 0\]
Chọn A
Câu 20 [TH]:
Phương pháp:
Hàm số \[y = a{x^2} + bx + c\,\left[ {a < 0} \right]\] đồng biến trên khoảng \[\left[ { - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}}} \right]\]
Hàm số \[y = a{x^2} + bx + c\,\left[ {a > 0} \right]\] đồng biến trên khoảng \[\left[ { - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right]\]
Cách giải:
Từ yêu cầu đề bài ta suy ra hàm số cần tìm có hệ số \[a < 0\] nên loại A và B.
Hàm số \[y = - \sqrt 2 {\left[ {x + 1} \right]^2} = - \sqrt 2 {x^2} - 2\sqrt 2 x - \sqrt 2 \] đồng biến trên khoảng \[\left[ { - \infty ; - 1} \right]\] nên C sai.
Hàm số \[y = - \sqrt 2 {x^2} + 1\] đồng biến trên khoảng \[\left[ { - \infty ;0} \right]\] nên D đúng.
Chọn D.
Câu 21 [TH]:
Phương pháp:
Phương trình đường thẳng \[\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\] có 1 VTCP là \[\overrightarrow u = \left[ {a;b} \right]\] và có 1 VTPT là \[\overrightarrow n = \left[ {b; - a} \right]\]
Cách giải:
1 VTCP của đường thẳng là \[\overrightarrow u = \left[ {2;1} \right]\] suy ra 1 VTPT là \[\overrightarrow n = \left[ {1; - 2} \right]\].
Chọn B.
Câu 22 [VD]:
Phương pháp:
Đặt \[{x^2} = t \ge 0\] rồi đưa về phương trình bậc hai. Từ đó tìm được số nghiệm của phương trình đã cho.
Cách giải:
Đặt \[{x^2} = t \ge 0\] ta được phương trình:
\[\left[ {1 - \sqrt 2 } \right]{t^2} - \left[ {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right]t + \sqrt 3 = 0\]
Phương trình trên có \[ac = \left[ {1 - \sqrt 2 } \right].\sqrt 3 < 0\] nên có hai nghiệm trái dấu \[{t_1} < 0\left[ L \right];{t_2} > 0\left[ N \right]\]
Thay lại cách đặt ta được \[{x^2} = {t_2} \Rightarrow x = \pm \sqrt {{t_2}} \] hay phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
Chọn A
Câu 23 [VD]:
Phương pháp:
\[ABDC\] là hình bình hành khi \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \]
Hai véc tơ bằng nhau khi hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.
Cách giải:
Gọi \[D\left[ {x;y} \right] \Rightarrow \overrightarrow {CD} = \left[ {x - 4;y - 3} \right]\]; \[\overrightarrow {AB} = \left[ {1; - 2} \right]\]
Để \[ABDC\] là hình bình hành thì \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 = 1\\y - 3 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 1\end{array} \right.\] nên \[D\left[ {5;1} \right]\]
Chọn D
Câu 24 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức diện tích \[{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC\sin A\]
Cách giải:
Ta có: \[{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC\sin A\] nên \[\sin A = \dfrac{{2{S_{ABC}}}}{{AB.AC}} = \dfrac{{2.64}}{{8.20}} = \dfrac{4}{5}.\]
Chọn C.
Câu 25 [TH]:
Phương pháp:
Hàm số \[y = a{x^2} + bx + c\] với \[a > 0\] nghịch biến trên \[\left[ { - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}}} \right]\] và đồng biến trên \[\left[ { - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right]\]
Cách giải:
Trục đối xứng \[x = - \dfrac{b}{{2a}} = 1\]
Đỉnh parabol \[I\left[ {1;3} \right]\]
Vì \[a = 2 > 0\] nên hàm số nghịch biến trên \[\left[ { - \infty ;1} \right]\] và đồng biến trên \[\left[ {1; + \infty } \right]\]
Ta có BBT:
Chọn B.
PHẦN II: TỰ LUẬN
Câu 1:
Phương pháp:
a] Phá dấu giá trị tuyệt đối và giải phương trình thu được.
b] Đặt \[t = {x^2}\] và giải phương trình.
c] Trừ vế với vế các phương trình đưa về dạng tích.
Cách giải:
a] \[\left| {1 - 2x} \right| - \left| {x + 1} \right| = 7\] \[ \Leftrightarrow \left| {2x - 1} \right| - \left| {x + 1} \right| = 7\]
+] Nếu \[x \ge \dfrac{1}{2}\] thì:
\[\begin{array}{l}\left| {2x - 1} \right| - \left| {x + 1} \right| = 7\\ \Leftrightarrow \left[ {2x - 1} \right] - \left[ {x + 1} \right] = 7\\ \Leftrightarrow 2x - 1 - x - 1 = 7\\ \Leftrightarrow x - 2 = 7\\ \Leftrightarrow x = 9\left[ {TM} \right]\end{array}\]
+] Nếu \[ - 1 < x < \dfrac{1}{2}\] thì:
\[\begin{array}{l}\left| {2x - 1} \right| - \left| {x + 1} \right| = 7\\ \Leftrightarrow \left[ { - 2x + 1} \right] - \left[ {x + 1} \right] = 7\\ \Leftrightarrow - 2x + 1 - x - 1 = 7\\ \Leftrightarrow - 3x = 7 \Leftrightarrow x = - \dfrac{7}{3}\left[ {KTM} \right]\end{array}\]
+] Nếu \[x \le - 1\] thì:
\[\begin{array}{l}\left| {2x - 1} \right| - \left| {x + 1} \right| = 7\\ \Leftrightarrow \left[ { - 2x + 1} \right] - \left[ { - x - 1} \right] = 7\\ \Leftrightarrow - 2x + 1 + x + 1 = 7\\ \Leftrightarrow - x + 2 = 7 \Leftrightarrow x = - 5\left[ {TM} \right]\end{array}\]
Vậy phương trình có tập nghiệm \[S = \left\{ {9; - 5} \right\}\]
b] \[{x^4} + 2{x^2} - 3 = 0\]
Đặt \[t = {x^2} \ge 0\] ta được:
\[{t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {t - 1} \right]\left[ {t + 3} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 1 = 0\\t + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\left[ {TM} \right]\\t = - 3\left[ {KTM} \right]\end{array} \right.\]
Suy ra \[{x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\].
Vậy phương trình có tập nghiệm \[S = \left\{ { \pm 1} \right\}\].
c] \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 3x + 2y\,\,\left[ 1 \right]\\{y^2} = 3y + 2x\end{array} \right.\]
Trừ hai phương trình vế với vế ta được:
\[{x^2} - {y^2} = x - y\] \[ \Leftrightarrow \left[ {x - y} \right]\left[ {x + y} \right] - \left[ {x - y} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ {x - y} \right]\left[ {x + y - 1} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y = 0\\x + y - 1 = 0\end{array} \right.\]
+] Nếu \[x - y = 0 \Leftrightarrow y = x\] thay vào \[\left[ 1 \right]\] ta được:
\[{x^2} = 3x + 2x \Leftrightarrow {x^2} - 5x = 0\] \[ \Leftrightarrow x\left[ {x - 5} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 0\\x = 5 \Rightarrow y = 5\end{array} \right.\]
+] Nếu \[x + y - 1 = 0 \Leftrightarrow y = 1 - x\] thay vào \[\left[ 1 \right]\] ta được:
\[{x^2} = 3x + 2\left[ {1 - x} \right]\] \[ \Leftrightarrow {x^2} = x + 2\] \[ \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow y = 2\\x = 2 \Rightarrow y = - 1\end{array} \right.\]
Vậy hệ có nghiệm \[\left[ {x,y} \right] \in \left\{ {\left[ {0;0} \right],\left[ {5;5} \right],\left[ { - 1;2} \right],\left[ {2; - 1} \right]} \right\}\].
Câu 2:
Phương pháp:
Sử dụng lý thuyết hàm số bậc hai:
- Trục đối xứng \[x = - \dfrac{b}{{2a}}\].
- Điểm \[M \in \left[ P \right]\] thì tọa độ của \[M\] thỏa mãn công thức hàm số của \[\left[ P \right]\].
Cách giải:
- Trục đối xứng \[x = - 2\] nên \[ - \dfrac{b}{{2a}} = - 2 \Leftrightarrow b = 4a\] [1]
- Đồ thị đi qua \[A\left[ { - 1;9} \right]\] nên \[9 = a.{\left[ { - 1} \right]^2} + b.\left[ { - 1} \right] + 3\] \[ \Leftrightarrow a - b = 6\] [2]
Thay [1] vào [2] ta có: \[a - 4a = 6 \Leftrightarrow - 3a = 6 \Leftrightarrow a = - 2\].
Suy ra \[b = 4.\left[ { - 2} \right] = - 8\].
Vậy hàm số \[y = - 2{x^2} - 8x + 3\].
Câu 3:
Phương pháp:
a] Phương trình đường thẳng đi qua điểm \[M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] và nhận \[\overrightarrow n = \left[ {a;b} \right]\] làm VTPT là \[a\left[ {x - {x_0}} \right] + b\left[ {y - {y_0}} \right] = 0\].
b] Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác.
Cách giải:
a] Ta có: \[\overrightarrow {BC} = \left[ {7; - 1} \right]\].
Đường thẳng qua \[A\left[ {4;2} \right]\] và song song \[BC\] nên nhận \[\overrightarrow n = \left[ {1;7} \right]\] làm VTPT.
Vậy \[1\left[ {x - 4} \right] + 7\left[ {y - 2} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow x + 7y - 18 = 0\].
b] Áp dụng định lí sin trong tam giác \[MNP\] ta có:
\[\dfrac{{NP}}{{\sin \widehat M}} = \dfrac{{MN}}{{\sin \widehat P}}\] \[ \Rightarrow \dfrac{7}{{\sin {{60}^0}}} = \dfrac{6}{{\sin \widehat P}}\] \[ \Leftrightarrow \sin \widehat P = \dfrac{{6.\sin {{60}^0}}}{7} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{7}\] \[ \Rightarrow \widehat P \approx {48^0}\].
Lại có \[\widehat M + \widehat N + \widehat P = {180^0}\] nên \[\widehat N = {180^0} - \widehat M - \widehat P\] \[ \approx {180^0} - {60^0} - {48^0} = {72^0}\].
Vậy \[\widehat P \approx {48^0},\widehat N \approx {72^0}\].