- LG a
- LG b
Cho hàm số
\[y = {{x - 2} \over {x - 1}}\]
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [H] của hàm số đã cho.
Lời giải chi tiết:
+] TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\]
+] Chiều biến thiên:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 1\] nên TCN \[y = 1\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty \] nên TCĐ \[x = 1\]
Ta có:
\[y' = \frac{1}{{{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}} > 0,\forall x \in D\]
Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left[ { - \infty ;1} \right]\] và \[\left[ {1; + \infty } \right]\] nên không có cực trị.
BBT:
+] Đồ thị:
LG b
Chứng minh rằng với mọi\[m \ne 0\], đường thẳng\[y = mx - 3m\]cắt đường cong [H] tại hai điểm phân biệt, trong đó ít nhất một giao điểm có hoành độ lớn hơn 2.
Lời giải chi tiết:
Hoành độ giao điểm của đường thẳng và đường cong [H] là nghiệm của phương trình.
\[mx - 3m = {{x - 2} \over {x - 1}}\]
\[ \Leftrightarrow [mx - 3m][x - 1] = x - 2\]
\[ \Leftrightarrow f[x] = m{x^2} - [4m + 1]x + 3m + 2 = 0\] [1]
Vì với mọi \[m \ne 0\]
\[\Delta = {[4m + 1]^2} - 4m[3m + 2] = 4{m^2} + 1 > 0\]
Nên phương trình trên có hai nghiệm phân biệt: \[{x_1} = 2 + {{1 - \sqrt {4{m^2} + 1} } \over {2m}}\] và \[{x_2} = 2 + {{1 + \sqrt {4{m^2} + 1} } \over {2m}}\].
Do đó, với mọi \[m \ne 0\], đường thẳng cắt đường cong [H] tại hai điểm phân biệt.
- Nếu m < 0 thì \[{x_1} > 2\] vì \[{{1 - \sqrt {4{m^2} + 1} } \over {2m}} > 0\]
- Nếu m > 0 thì \[{x_2} > 2\] vì \[{{1 + \sqrt {4{m^2} + 1} } \over {2m}} > 0\]