- LG a
- LG b
- LG c
Cho đường tròn [C] có phương trình \[{x^2} + {y^2} - 4x + 3 = 0\].
LG a
Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn [C].
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 4x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {x - 2} \right]^2} + {y^2} = 1\end{array}\]
Tâm và bán kính của đường tròn lần lượt là \[I\left[ {2;0} \right];R = 1\]
LG b
Viết phương trình đường tròn [C] đối xứng với [C] qua đường thẳng 4x-3y=0.
Lời giải chi tiết:
Tâm đường tròn [C] có bán kính bằng 1 và có tâm I đối xứng với I qua đường thẳng d: 4x-3y=0. Giả sử I=[x ; y] thì vec tơ \[\overrightarrow {II'} = [x - 2;y]\] phải vuông góc với vec tơ chỉ phương của d là \[\overrightarrow u = [3\,;\,4]\], tức là 3[x-2]+4y=0 hay 3x+4y-6=0. [1]
Ngoài ra trung điểm của II là \[P = \left[ {{{x + 2} \over 2}\,;\,{y \over 2}} \right]\] phải nằm trên d, tức là: \[{{4[x + 2]} \over 2} - {{3y} \over 2} = 0\] hay 4x-3y+8=0. [2]
Giải hệ hai phương trình [1] và [2] ta được tọa độ I là \[x = - {{14} \over {25}}\,,\,\,y = {{48} \over {25}}\].
Vậy phương trình đường tròn [C] là \[{\left[ {x + {{14} \over {25}}} \right]^2} + {\left[ {y - {{48} \over {25}}} \right]^2} = 1\].
LG c
Gọi M là điểm có tọa độ M=[0 ; m]. Gọi MT và MT là hai tiếp tuyến của [C]. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm T và T. Chứng minh rằng đường thẳng TT luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải chi tiết:
Hiển nhiên hai tiếp điểm T và T đều nằm trên đường tròn [C1] có đường kính MI. Đường tròn đó có tâm là trung điểm Q của MI, \[Q = \left[ {1\,;\,{m \over 2}} \right]\] và có bán kính \[r = QI = \sqrt {1 + {{{m^2}} \over 4}} \]. Vậy [C1] có phương trình:
\[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - {m \over 2}} \right]^2} = 1 + {{{m^2}} \over 4}\,\, \Leftrightarrow \,\,{x^2} + {y^2} - 2x - my = 0.\]
Hai tiếp điểm T và T là giao điểm của hai đường tròn [C] và [C1] nên tọa độ của chúng là nghiệm của hệ:
\[\left\{ \matrix{ {x^2} + {y^2} - 4x + 3 = 0 \hfill \cr {x^2} + {y^2} - 2x - my = 0. \hfill \cr} \right.\]
Từ hai phương trình trên, ta suy ra 2x-my-3=0. [*]
Tọa độ của T và T là các nghiệm của hệ phương trình trên nên cũng là nghiệm của phương trình [*]. Suy ra chính là phương trình của đường thẳng TT. Đường thẳng đó luôn đi qua điểm cố định \[S\left[ {{3 \over 2}\,;\,0} \right]\].