- LG a
- LG b
Cho hàm số\[y = f\left[ x \right]\]liên tục trên R. Chứng minh
LG a
\[\int\limits_0^a {{x^3}f\left[ {{x^2}} \right]} dx = {1 \over 2}\int\limits_0^{{a^2}} {xf\left[ x \right]dx} \]với a > 0
Lời giải chi tiết:
Biến đổi \[u = {x^2}\]
LG b
\[\int\limits_0^\pi {xf\left[ {\sin x} \right]} dx = {\pi \over 2}\int\limits_0^\pi {f\left[ {\sin x} \right]dx} \]
Lời giải chi tiết:
Biến đổi \[u = \pi - x\], ta có \[du = - dx\] và
\[\eqalign{& I = \int\limits_0^\pi {xf\left[ {\sin x} \right]} dx = - \int\limits_0^\pi {\left[ {\pi - u} \right]f\left[ {\sin u} \right]} du & = \int\limits_0^\pi {\left[ {\pi - u} \right]f\left[ {\sin u} \right]} du = \pi \int\limits_0^\pi {f\left[ {\sin u} \right]} du - 1 \cr} \]
Suy ra \[I = {\pi \over 2}\int\limits_0^\pi {f\left[ {\sin x} \right]} dx\]