Giải và biện luận các bất phương trình bậc 2

Thí dụ 1. Giải các bất phương trình sau: a. 3x$^2$ - x - 2 ≤ 0. b. x$^2$ - 9x + 14 > 0.a Ta có ngay: 3x$^2$ - x - 2 ≤ 0 $\mathop \Leftrightarrow \limits_{{x_1} = 1\,\,va\,\,{x_2} = - \frac{2}{3}}^{3{x^2} - x - 2 = 0\,\,co\,2\,nghiem} $ -$\frac{2}{3}$ ≤ x ≤ 1. Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là T = [-$\frac{2}{3}$; 1]. b Ta có ngay: x$^2$ - 9x + 14 > 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x > 7\\x < 2\end{array} \right.$. Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là T = [-∞; 2] ∪ [7; +∞].

Thí dụ 2. Giải các bất phương trình sau:

Lưu ý: Như vậy, để tránh nhầm lẫn ta luôn chuyển bất phương trình về dạng có hệ số a dương.

Chú ý: Với bài toán "Giải và biện luận bất phương trình bậc hai" ta thực hiện như sau:

Trường hợp 1: Nếu a = 0 [nếu có].

• Bước 1: Tính Δ [hoặc Δ'] rồi lập bảng xét dấu chung cho a và Δ [hoặc Δ'].
• Bước 2: Dựa vào bảng ta xét các trường hợp xảy ra.
• Bước 3: Kết luận.

• Trường hợp 1: Nếu Δ' < 0 ⇔ m > $\frac{1}{6}$ ⇒ f[x] > 0, ∀x ∈ $\mathbb{R}$ ⇒ nghiệm của bất phương trình là ∀x ∈ $\mathbb{R}$.
• Trường hợp 2: Nếu Δ' = 0 ⇔ m = $\frac{1}{6}$ ⇒ f[x] > 0, ∀x ∈ $\mathbb{R}$\{$ - \frac{1}{2}$} ⇒ nghiệm của bất phương trình là ∀x ∈ $\mathbb{R}$ \{-1}.
• Trường hợp 3: Nếu Δ' > 0 ⇔ m < $\frac{1}{6}$.

• Với m > $\frac{1}{6}$, nghiệm của bất phương trình là ∀x ∈ $\mathbb{R}$.
• Với m = $\frac{1}{6}$, nghiệm của bất phương trình là ∀x ∈ $\mathbb{R}$\{-1}.
• Với m < $\frac{1}{6}$, nghiệm của bất phương trình là x < x$_1$ hoặc x > x$_2$.

• Với 1 - 6m < 0 ⇔ m > $\frac{1}{6}$, nghiệm của bất phương trình là ∀x ∈ $\mathbb{R}$.
• Với 1 - 6m = 0 ⇔ m = $\frac{1}{6}$, bất phương trình có dạng: [x + 1]$^2$ > 0 ⇔ x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ -1.

• Với 1 - 6m > 0 ⇔ m < $\frac{1}{6}$, bất phương trình có dạng: $\left| {x + 1} \right| > \sqrt {1 - 6m} $ ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x + 1 > \sqrt {1 - 6m} \\x + 1 < - \sqrt {1 - 6m} \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}x > - 1 + \sqrt {1 - 6m} \\x < - 1 - \sqrt {1 - 6m} \end{array} \right..$

• Trường hợp 1: Nếu Δ' = 0 ⇔ m = 3, suy ra f[x] ≥ 0, ∀x ∈ $\mathbb{R}$. Do đó, nghiệm của bất phương trình là x = -$\frac{b}{a}$ = -$\frac{1}{2}$.
• Trường hợp 2: Nếu Δ' > 0 ⇔ m ≠ 3, suy ra: f[x] = 0 ⇔ x$_1$ = -$\frac{1}{2}$ và x$_2$ = -$\frac{m}{6}$.

• Khả năng 1: Nếu x$_1$ < x$_2$ ⇔ m < 3.

• Khả năng 2: Nếu x$_1$ > x$_2$ ⇔ m > 3.

• Với m = 3, bất phương trình có tập nghiệm T = {-$\frac{1}{2}$}.
• Với m < 3, bất phương trình có tập nghiệm T = [-$\frac{1}{2}$; -$\frac{m}{6}$].
• Với m > 3, bất phương trình có tập nghiệm T = [-$\frac{m}{6}$; -$\frac{1}{2}$].

• Với m < 1/2, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.$⇒ f[x] < 0, ∀x ∈ $\mathbb{R}$ ⇒ [1] vô nghiệm.
• Với m = 1/2, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right.$⇒ f[x] ≤ 0, ∀x ∈ $\mathbb{R}$ ⇒ [1] vô nghiệm.
• Với 1/2 < m < 1, ta có a < 0 và Δ’ > 0.

• Với 1 < m < 5, ta có a > 0 và Δ’ > 0: $\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right.$⇒ f[x] = 0 có hai nghiệm phân biệt x$_1$, x$_2$

• Với m = 5, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right.$⇒ $\left\{ \begin{array}{l}f[x] > 0,\,\forall x \ne 3/2\\f[x] = 0\,khi\,x = 3/2\end{array} \right.$⇒ nghiệm của [1] là ∀x ≠ $\frac{3}{2}$.
• Với m > 5, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.$⇒ f[x] > 0, ∀x ∈ $\mathbb{R}$ ⇒ [1] đúng với ∀x ∈ $\mathbb{R}$.

• Với m ≤ 1/2, thì [1] vô nghiệm.
• Với 1/2 < m < 1, nghiệm của [1] là x$_2$ ≤ x ≤ x$_1$.
• Với 1 < m < 5, nghiệm của [1] là x < x$_1$ hoặc x > x$_2$.
• Với m = 5, nghiệm của [1] là ∀x ≠ $\frac{3}{2}$.
• Với m > 5, thì [1] đúng với ∀x ∈ $\mathbb{R}$.

Trường hợp 2: Nếu m - 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2. Khi đó:

Thí dụ 6. Cho phương trình: x$^2$ + 2[m - 1]x + m - 1 = 0. [1]

Lưu ý: Nếu biết nhận xét rằng S và P trái dấu thì khẳng định ngay vô nghiệm.

Vậy, với m > 3 thoả mãn điều kiện đầu bài.