Đề bài
Cho hình lăng trụ ABC.ABC có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 30˚. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng [ABC] thuộc đường thẳng BC.
a. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy
b. Chứng minh rằng hai đường thẳng AA và BC vuông góc, tính khoảng cách giữa chúng.
Lời giải chi tiết
Ta có: AH [ABC] nên \[\widehat {AA'H}\] là góc giữa AA và mp[ABC] do đó \[\widehat {AA'H} = 30^\circ \]
a. Khoảng cách giữa hai mp đáy chính là AH, ta có :
\[AH = AA'\sin 30^\circ = {a \over 2}\]
b. Tam giác AHA vuông tại H nên \[A'H = AA'\cos 30^\circ = {{a\sqrt 3 } \over 2}.\] Vì ABC là tam giác đều cạnh a, H thuộc đường thẳng BC mà \[A'H = {{a\sqrt 3 } \over 2}\] nên AH BC và H là trung điểm BC.
Mặt khác, AH BC nên AA BC. Kẻ đường cao HK của tam giác AAH thì HK chính là khoảng cách giữa AA và BC. Do AA.HK = AH.AH nên \[HK = {{{a \over 2}.{{a\sqrt 3 } \over 2}} \over a} = {{a\sqrt 3 } \over 4}\]