Đề bài
Hình hộp ABCD.ABCD là hình hộp gì nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau ?
a. Tứ diện ABCD có các cạnh đối bằng nhau ;
b. Tứ diện ABCD có các cạnh đối vuông góc ;
c. Tứ diện ABCD là tứ diện đều.
Lời giải chi tiết
a. Ta có: BD = BD
Vậy AC = BD AC = BD, khi đó ABCD là hình chữ nhật
Tương tự ta cũng có ABBA và ADDA là những hình chữ nhật. Vậy khi tứ diện ABCD có các cạnh đối diện bằng nhau thì ABCD.ABCD là hình hộp chữ nhật.
Ngược lại, khi ABCD.ABCD là hình hộp chữ nhật thì dễ thấy tứ diện ABCD có các cạnh đối diện bằng nhau.
b. Ta có: BD // BD. Vậy AC BD AC BD. Khi đó ABCD là hình thoi. Tương tự như trên ta cũng có ABBA và ADDA là những hình thoi. Vậy hình hộp ABCD.ABCD là hình hộp thoi [tức sáu mặt của hình hộp là hình thoi].
Cũng dễ thấy rằng nếu ABCD.ABCD là hình hộp thoi thì tứ diện ABCD có các cạnh đối diện vuông góc.
c. Khi ABCD là tứ diện đều thì các cạnh đối diện vừa bằng nhau vừa vuông góc; áp dụng kết quả của các câu a và b ta có : Khi ABCD là tứ diện đều thì hình hộp ABCD.ABCD là hình lập phương.
Ngược lại, nếu ABCD.ABCD là hình lập phương thì ABCD là tứ diện đều.