- Câu 24
- Câu 25
- Câu 26
- Câu 27
- Câu 28
- Câu 29
- Câu 30
- Câu 31
- Câu 32
- Câu 33
- Câu 34
- Câu 35
- Câu 36
- Câu 37
- Câu 38
Câu 24
Hàm số \[f[x] = {e^{{1 \over 3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1}}\]
[A] Đồng biến trên mỗi khoảng \[[-, 1]\] và \[[3, + ]\]
[B] Nghịch biến trên mỗi khoảng \[[-, 1]\] và \[[3, + ]\]
[C] Đồng biến trên khoảng \[[-, 1]\] và nghịch biến trên khoảng \[[3, + ]\]
[D] Nghịch biến trên khoảng \[[-, 1]\] và đồng biến trên khoảng \[[3, + ]\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& f'[x] = [{x^2} - 4x + 3]{e^{{1 \over 3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1}} \cr
& f'[x] = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = 3 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Ta có bảng biến thiên:
Chọn [A]
Câu 25
Hàm số f[x] = sin2x 2sinx có giá trị nhỏ nhất là:
[A] \[- {1 \over 2}\]
[B] 0
[C] -1
[D] \[- {1 \over 3}\]
Lời giải chi tiết:
Đặt t = sin x; t [-1, 1]
f[x] = g[t] = t2 2t
g = 2t 2 = 0 t = 1
g[ - 1] = 3
g[1] = -1
Vậy \[\mathop {\min }\limits_{x \in R} f[x] = - 1\]
Chọn [C]
Câu 26
Gọi [C] là đồ thị của hàm số \[y = \sqrt {{x^2} + x} \]. Khi đó
[A] Đường thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên của [C] [khi \[x \to + \infty \]]
[B] Đường thẳng \[y = x + {1 \over 2}\]là tiệm cận xiên của [C] [khi \[x \to + \infty \]]
[C] Đường thẳng y = -x là tiệm cận xiên của [C] [khi \[x \to + \infty \]]
[D] Đồ thị [C] không có tiệm cận xiên [khi \[x \to + \infty \]]
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{f[x]} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 + {1 \over x}} = 1 \cr
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\rm{[f[x]}}\, - {\rm{ax]}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [\sqrt {{x^2} + x} - x] \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x \over {\sqrt {{x^2} + x} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {1 + {1 \over x}} + 1}} = {1 \over 2} \cr} \]
Vậy \[y = x + {1 \over 2}\]là tiệm cận xiên của [C] khi \[x\to +\]
Chọn B
Câu 27
Đồ thị của hàm số y = x3 x + 1 tiếp xúc với điểm [1, 1] với
[A] Parabol y = 2x2-1
[B] Parabol y = x2
[C] Parabol y = -x2+ 2x
[D] Đường thẳng y = 2x + 1
Lời giải chi tiết:
Xét f[x] = x3 x + 1 ; g[x] = x2
Ta có:
\[\left\{ \matrix{
f[1] = g[1] = 1 \hfill \cr
f'[1] = g'[1] = 2 \hfill \cr} \right.\]
Nên đồ thị hàm số y = x3 x + 1 tiếp xúc với [P]
y = x2tại [1, 1]
Chọn [B]
Câu 28
Cho hai số dương a và b. Đặt
\[\left\{ \matrix{
X = \ln {{a + b} \over 2} \hfill \cr
Y = {{\ln a + \ln b} \over 2} \hfill \cr} \right.\]
Khi đó:
[A] X > Y
[B] X < Y
[C] X Y
[D] X Y
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab}\cr& \Rightarrow \ln {{a + b} \over 2} \ge \ln \sqrt {ab} = {1 \over 2}[lna\, + \ln b] \cr
& \Rightarrow X \ge Y \cr} \]
Chọn [C]
Câu 29
Cho hai số không âm a và b.
Đặt
\[\left\{ \matrix{
X = {e^{{{a + b} \over 2}}} \hfill \cr
Y = {{{e^a} + {e^b}} \over 2} \hfill \cr} \right.\]
Khi đó:
[A] X > Y
[B] X < Y
[C] X Y
[D] X Y
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[Y = {{{e^a} + {e^b}} \over 2} \ge \sqrt {{e^a}.{e^b}} = {e^{{{a + b} \over 2}}} = X\]
Vậy chọn [D]
Câu 30
Cho [C] là đồ thị của hàm số y = log2x. Ta có thể suy ra đồ thị của hàm số y = log22[x + 3] bằng cách tịnh tiến [C] theo vectơ:
\[\eqalign{
& [A]\,\overrightarrow v = [3,1] \cr
& [B]\,\overrightarrow v = [3, - 1] \cr
& [C]\,\overrightarrow v = [ - 3,1] \cr
& [D]\,\overrightarrow v = [ - 3, - 1] \cr} \]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
log22[x + 3] = 1 + log2[x + 3]
y = log2x \[\to\] Tịnh tiến trái 3 đơn vị
y = log2[x + 3]\[\to\] Tịnh tiến lên trên 1 đơn vị\[\to\] y = 1 + log2[x + 3]
Chọn [C]
Câu 31
Cho hàm số f[x] = log5[x2+ 1]. Khi đó:
[A] \[f'[1] = {1 \over {2\ln 5}}\]
[B] \[f'[1] = {1 \over {\ln 5}}\]
[C] \[f'[1] = {3 \over {2\ln 5}}\]
[D] \[f'[1] = {2 \over {\ln 5}}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[f'[x] = {{2x} \over {{x^2} + 1}}.{1 \over {\ln 5}} \Rightarrow f'[1] = {1 \over {\ln 5}}\]
Chọn [B]
Câu 32
Biết rằng đồ thị của hàm số y = axvà đồ thị của hàm số y = logbx cắt nhau tại điểm \[\left[ {\sqrt {{2^{ - 1}}} ;\sqrt 2 } \right]\]. Khi đó
[A] a > 1 và b > 1
[B] a > 1 và 0 < b < 1
[C] 0 < a < 1 và b > 1
[D] 0 < a < 1 và 0 < b < 1
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\left\{ \matrix{
{a^{\sqrt {{1 \over 2}} }} = \sqrt 2 \hfill \cr
{\log _b}\sqrt {{1 \over 2}} = \sqrt 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{\log _a}\sqrt 2 = \sqrt {{1 \over 2}} > 0 \hfill \cr
{\log _b}\sqrt {{1 \over 2}} = \sqrt 2 > 0 \hfill \cr} \right.\]
\[\Rightarrow \left\{ \matrix{
a > 1 \hfill \cr
0 < b < 1 \hfill \cr} \right.\]
Chọn [B]
Câu 33
Cho hàm số \[f[x] = {{2{x^4} + 3} \over {{x^2}}}\]. Khi đó
[A] \[\int {f[x]dx = {{2{x^3}} \over 3}} - {3 \over x} + C\]
[B] \[\int {f[x]dx = {{2{x^3}} \over 3}} + {3 \over x} + C\]
[C] \[\int {f[x]dx = 2{x^3}} - {3 \over x} + C\]
[D]\[\int {f[x]dx = {{2{x^3}} \over 3}} + {3 \over {2x}} + C\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\int {f[x]dx = \int {[2{x^2} + {3 \over {{x^2}}}]dx = {{2{x^3}} \over 3} - {3 \over x} + C} } \]
Chọn [A]
Câu 34
Đẳng thức \[\int\limits_0^a {\cos [x + {a^2}]dx = sina} \]xảy ra nếu:
\[[A] \;a π\]
\[\eqalign{
& [B]\,\,a = \sqrt \pi \cr
& [C]\,\,a = \sqrt {3\pi } \cr
& [D]\,a = \sqrt {2\pi } \cr} \]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& \int\limits_0^a {\cos [x + {a^2}]dx = \sin [x + {a^2}]|_0^a} \cr&= \sin [a + {a^2}] - \sin {a^2} = \sin a \cr
& \Leftrightarrow \sin [a + {a^2}] = \sin {a^2} + \sin a \cr} \]
Với \[a = \sqrt {2\pi } \Rightarrow \sin [\sqrt {2\pi } + 2\pi ] = \sin 2\pi + \sin \sqrt {2\pi } \]
\[ \Leftrightarrow \sin \sqrt {2\pi } = \sin \sqrt {2\pi } \]
Chọn [D]
Câu 35
Gọi S là tập hợp các số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện:
\[\int\limits_1^e {\ln {k \over x}} dx\,\, < e - 2\]
Khi đó:
[A] S = {1}
[B] S = {2}
[C] S = {1, 2}
[D] S = Ø
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\int\limits_1^e {\ln {k \over x}} dx = \int\limits_1^e {[\ln k - \ln x]dx = [e - 1]\ln k - \int\limits_1^e {\ln xdx} }\]
Đặt
\[\left\{ \matrix{
u = \ln x \hfill \cr
dv = dx \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
du = {1 \over x}dx \hfill \cr
v = x \hfill \cr} \right.\]
Do đó:
\[\int\limits_1^e {\ln xdx = x\ln x|_1^e} - \int\limits_1^e {dx} = e - [e - 1] = 1\]
Vậy:
\[\eqalign{
& \int\limits_1^e {\ln {k \over x}} dx < e - 2 \Leftrightarrow [e - 1]\ln k - 1 < e - 2 \cr
& \Leftrightarrow {\mathop{\rm lnk}\nolimits} < 1 \Leftrightarrow 0 < k < e \Leftrightarrow k \in {\rm{\{ }}1,\,2\} \cr} \]
Chọn [C]
Câu 36
Cho số phức z tùy ý. Xét các số phức
\[\alpha = {z^2} + {\left[ {\overline z } \right]^2};\,\beta = z.\overline z + i\left[ {z - \overline z } \right].\]
Khi đó:
A. α là số thực, β là số thực.
B. α là số thực, β là số ảo.
C. α là số ảo, β là số thực.
D. α là số ảo, β là số ảo.
Lời giải chi tiết:
Giả sử z = a+bi, ta có:
\[\alpha = {\left[ {a + bi} \right]^2} + {\left[ {a - bi} \right]^2} = 2{a^2}-2b^2\]
Vậy α R
\[\beta = \left[ {a + bi} \right]\left[ {a - bi} \right] + i\left[ {a + bi - a + bi} \right]\]
\[= {a^2} + {b^2} - 2b \in\mathbb R\]
Vậy chọn A.
Câu 37
Cho số phức z tùy ý. Xét các số phức
\[\left\{ \matrix{
\alpha = {{{i^{2005}} - i} \over {\overline z - 1}} - {z^2} + {[\overline z ]^2} \hfill \cr
\beta = {{{z^3} - z} \over {z - 1}} + {[\overline z ]^2} + \overline z \hfill \cr} \right.\]
Khi đó:
[A] α là số thực, β là số thực
[B] α là số thực, β là số ảo
[C] α là số ảo, β là số thực
[D] α là số ảo, β là số ảo
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[{i^{2005}} = i \]
\[\Rightarrow \alpha = \frac{{{i^{2005}} - i}}{{\overline z - 1}} - {z^2} + {\left[ {\overline z } \right]^2} \]
\[= \frac{{i - i}}{{z - 1}} - {z^2} + {\left[ {\overline z } \right]^2} \]
\[= 0 - {z^2} + {\left[ {\overline z } \right]^2}\]
\[ = {[\overline z ]^2} - {z^2} \] \[= [\overline z - z][\overline z + z]\]
\[ = \left[ {a - bi - a - bi} \right]\left[ {a - bi + a + bi} \right] \] \[= - 2bi.2a = - 4abi\]
là số ảo.
\[\begin{array}{l}
\beta = \frac{{{z^3} - z}}{{z - 1}} + {\left[ {\overline z } \right]^2} + \overline z \\
= \frac{{z\left[ {{z^2} - 1} \right]}}{{z - 1}} + {\left[ {\overline z } \right]^2} + \overline z \\
= \frac{{z\left[ {z - 1} \right]\left[ {z + 1} \right]}}{{z - 1}} + {\left[ {\overline z } \right]^2} + \overline z \\
= z\left[ {z + 1} \right] + {\left[ {\overline z } \right]^2} + \overline z
\end{array}\]
\[ = {z^2} + z + {\overline z ^2} + \overline z \] \[= {[z + \overline z ]^2} - 2z.\overline z + [z + \overline z ]\]
\[= {\left[ {a + bi + a - bi} \right]^2} \] \[- 2\left[ {{a^2} + {b^2}} \right] \] \[+ \left[ {a + bi + a - bi} \right] \] \[= 4{a^2} - 2\left[ {{a^2} + {b^2}} \right] + 2a\] \[ = 2{a^2} - 2{b^2} + 2a\]
là số thực
Chọn [C]
Câu 38
Nếu môđun của số phức z bằng r [r > 0] thì môdun của số phức [1 i]2z bằng:
[A] 4r
[B] 2r
[C] \[r\sqrt 2 \]
[D] r
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
{\left[ {1 - i} \right]^2} = 1 - 2i + {i^2} = - 2i\\
\Rightarrow \left| {{{\left[ {1 - i} \right]}^2}} \right| = \left| { - 2i} \right| = 2\\
\Rightarrow \left| {{{\left[ {1 - i} \right]}^2}z} \right| = \left| {{{\left[ {1 - i} \right]}^2}} \right|.\left| z \right|\\
= 2r
\end{array}\]
Chọn [B]