Đề bài - bài 1.5 trang 9 sbt hình học 12
|
+ Ba điểm phân biệt bất kì thì chỉ xác định được một mặt phẳng chứ không xác định được một hình đa diện. Đề bài Chứng minh rằng mỗi hình đa diện có ít nhất \(4\) đỉnh. Phương pháp giải - Xem chi tiết Sử dụng định nghĩa hình đa diện: Hình \(\left( H \right)\) gồm các hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai điều kiện: + Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung. + Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác. Lời giải chi tiết Gọi \({M_1}\) là một mặt của hình đa diện\(\left( H \right)\) chứa ba đỉnh \(A,B,C\). Khi đó \(AB,BC\) là hai cạnh của \(\left( H \right)\). Gọi \({M_2}\) là mặt khác với \({M_1}\) và có chung cạnh \(AB\) với \({M_1}\). Khi đó \({M_2}\) còn có ít nhất một đỉnh \(D\) khác với \(A\) và \(B\). Nếu \(D \equiv C\) thì \({M_1}\) và \({M_2}\) có hai cạnh chung \(AB\) và \(BC\) (vô lý). Vậy \(D\) phải khác \(C\). Do đó \(\left( H \right)\) có ít nhất bốn đỉnh \(A,B,C,D\). Chú ý: Có thể lấy ví dụ minh họa như sau: + Ba điểm phân biệt bất kì thì chỉ xác định được một mặt phẳng chứ không xác định được một hình đa diện. + Bốn điểm không đồng phẳng thì xác định được tình tứ diện nên ta suy ra ngay điều phải chứng minh.
|
