Đánh giá độ phức tạp của thuật toán dijkstra năm 2024

Thuật toán Dijkstra là một công cụ quan trọng trong lý thuyết đồ thị và tối ưu hóa. Với khả năng tìm đường đi ngắn nhất trong đồ thị có trọng số không âm, thuật toán này đã có ứng dụng rộng rãi trong lĩnh vực lập trình và các vấn đề thực tế trong cuộc sống. Ở bài viết này, Techie sẽ giới thiệu cách thuật toán Dijkstra hoạt động và cùng đi sâu vào những ứng dụng thú vị của nó.

Thuật toán Dijkstra là gì?

Thuật toán Dijkstra được lấy theo tên của nhà toán học người Hà Lan Edsger W. Dijkstra. Đây là thuật toán giúp tìm đường đi ngắn nhất trong đồ thị có trọng số không âm.

Thuật toán hoạt động bằng cách duyệt qua các đỉnh theo thứ tự, mở rộng từ đỉnh xuất phát đến các đỉnh kề tiếp theo có chi phí thấp nhất và duy trì một bộ đường đi ngắn nhất tới các đỉnh đã xét.

Thuật toán Dijkstra được lấy theo tên “cha đẻ” của nó: nhà toán học Edsger W. Dijkstra

\>>Ví dụ

Nếu bạn đang tìm đường đi ngắn nhấn từ một điểm A đến một điểm B, thuật toán Dijkstra có thể giúp bạn.

Hãy tưởng tượng rằng đồ thị là một bản đồ của một thành phố, với các điểm đến và các con đường nối chúng. Mỗi con đường có một số liệu ghi trên đó, có thể là khoảng cách, thời gian hay chi phí đi qua. Mục tiêu của chúng ta là tìm đường đi từ điểm xuất phát đến điểm đích sao cho tổng số liệu trên các con đường đó là nhỏ nhất.

Thuật toán Dijkstra sẽ tính toán khoảng cách từ A đến B thông qua việc duyệt lần lượt tất cả tuyến đường nối A và B. Nếu khoảng cách của con đường mới nhỏ hơn con đường liền kề, thông tin sẽ được cập nhật. Quá trình này được lặp đi lặp lại cho đến khi tất cả các con đường đều đã được xem xét.

Khi thuật toán kết thúc, ta sẽ có một bảng ghi lại đường đi ngắn nhất từ điểm xuất phát đến tất cả các điểm khác. Ta có thể sử dụng bảng này để xác định đường đi tối ưu từ A đến B.

Nguyên tắc hoạt động của thuật toán Dijkstra

Ý tưởng hoạt động của thuật toán Dijkstra như sau:

1. Đặt giá trị khoảng cách ban đầu của đỉnh xuất phát là 0. Khởi tạo khoảng cách tới các đỉnh khác là +∞
2. Chọn đỉnh có khoảng cách nhỏ nhất và chưa được xét.
3. Duyệt qua các đỉnh kề với đỉnh đang xét, nếu tổng khoảng cách từ đỉnh xuất phát đến đỉnh đang xét và trọng số của cạnh nối giữa hai đỉnh là nhỏ hơn khoảng cách hiện tại của đỉnh đó, cập nhật khoảng cách mới.
4. Đánh dấu đỉnh đã xét.
5. Lặp lại các bước 2-4 cho đến khi tất cả các đỉnh đã được xét.
   Ví dụ về thuật toán Dijkstra

Nguyên tắc chính của thuật toán Dijkstra là mở rộng từ đỉnh xuất phát tới các đỉnh kề, và cập nhật khoảng cách tốt nhất từ đỉnh xuất phát đến các đỉnh đó. Điều này được thực hiện theo nguyên tắc “tham lam” (greedy) bởi việc luôn chọn đỉnh gần nhất và có khoảng cách nhỏ nhất để mở rộng.

*Trong thuật toán Dijkstra, việc đồ thị có trọng số không âm là điều kiện cần để đảm bảo tính đúng đắn của thuật toán. Bởi lẽ, Dijkstra xác định đường đi ngắn nhất bằng cách tính tổng trọng số của các cạnh trên đường đi. Nếu có trọng số âm, thuật toán Dijkstra không đảm bảo tìm ra kết quả chính xác, vì nó có thể bị mắc kẹt trong vòng lặp vô hạn hoặc cho ra kết quả sai số.

Ứng dụng của thuật toán Dijkstra trong lập trình

Chức năng chính của thuật toán Dijkstra là thay con người tìm ra con đường ngắn nhất mà chúng ta không thể tính toán bằng bộ não. Có rất nhiều ứng dụng thông minh sử dụng thuật toán này. Google Maps của Mỹ hay Baidu Maps ở Trung Quốc mà những ví dụ điển hình.

Một số ứng dụng thường gặp của Dijkstra có thể kể đến như:

• Định tuyến mạng

  Dijkstra được sử dụng rộng rãi trong việc định tuyến mạng, như định tuyến trong mạng máy tính, giao thức định tuyến trong Internet (như OSPF và IS-IS), hay tìm đường đi trong các hệ thống mạng phân tán.

  • Ứng dụng trong giao thông, logistic

    Trong các hệ thống vận chuyển hoặc giao thông, thuật toán Dijkstra được sử dụng để tìm đường đi ngắn nhất giữa các địa điểm. Ví dụ, trong ứng dụng dẫn đường GPS, thuật toán Dijkstra được sử dụng để tính toán đường đi ngắn nhất từ vị trí hiện tại đến đích.

    Dijkstra được ứng dụng để tính toán khoảng cách trên các phần mềm chỉ đường

    • Quản lý tài nguyên

      Đối với việc quản lý tài nguyên trong hệ thống phân tán, thuật toán Dijkstra được sử dụng để tìm đường đi ngắn nhất từ nguồn tới các tài nguyên khác nhau. Ví dụ, trong hệ thống phân tán, có thể sử dụng thuật toán Dijkstra để tìm đường đi ngắn nhất giữa các nút để truyền tin nhắn hoặc truy cập tài nguyên.

      • Phát triển các ứng dụng game

        Đối với các trò chơi game, Dijkstra được sử dụng để tìm đường đi ngắn nhất của nhân vật, xe tăng, hoặc các đối tượng di chuyển khác trong một môi trường đồ họa 2D hoặc 3D. Điều này giúp xác định các đường đi tối ưu và tạo ra trải nghiệm chơi game hấp dẫn.

        • Mạng xã hội

          Đối với ứng dụng mạng xã hội, Dijkstra giúp xác định đường đi ngắn nhất giữa các nút chức năng, đồng thời hỗ trợ cho việc kết nối giữa các người dùng. Dựa trên thuật toán này, mạng xã hội có thể đưa ra đề xuất bạn bè có mối quan hệ gần nhất. Hoặc, nó cũng được sử dụng nhằm xác định các liên kết tối ưu để cải thiện hiệu suất mạng xã hội, ví dụ như tối ưu hóa quá trình chia sẻ thông tin hoặc lan truyền tin tức trong mạng.

          Tính năng đề xuất kết bạn cũng là một ứng dụng của Dijkstra

          Kết luận

          Thuật toán Dijkstra được đánh giá là dễ hiểu. Do đó, nó thường được sử dụng trong nhiều ngôn ngữ và môi trường phát triển. Người dùng thuật toán này có thể là những nhà phát triển phần mềm, kỹ sư mạng, nhà thiết kế trò chơi, chuyên gia quản lý giao thông và nhiều ngành nghề khác liên quan đến định tuyến và tối ưu hóa.

          Tuy nhiên, Dijkstra cũng có một số hạn chế và độ phức tạp nhất định. Vì thế tùy vào từng trường hợp, các nhà phát triển cũng sẽ thay thế bằng các thuật toán tìm đường đi ngắn nhất khác.