| Làm bài Quảng cáo
Câu hỏi 1 : Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt cầu \[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 7 = 0\]. Bán kính của mặt cầu đã cho bằng
Đáp án: A Phương pháp giải: Mặt cầu \[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\] có bán kính \[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \] Lời giải chi tiết: Bán kính mặt cầu là \[R = \sqrt {{1^2} + {{\left[ { - 1} \right]}^2} - \left[ { - 7} \right]} = \sqrt 9 = 3\] Chọn A. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 2 : Trong không gian \[Oxyz\], mặt cầu tâm \[I\left[ {1; - 3;2} \right]\] và đi qua \[A\left[ {5; - 1;4} \right]\] có phương trình là
Đáp án: D Phương pháp giải: Phương trình mặt cầu có tâm \[I\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] , bán kính \[R:\,\,{[x - {x_0}]^2} + {[y - {y_0}]^2} + {[z - {z_0}]^2} = {R^2}\]. Lời giải chi tiết: Do mặt cầu đi qua \[A\left[ {5; - 1;4} \right]\] nên bán kính mặt cầu là \[R = IA = \sqrt {{4^2} + {2^2} + {2^2}} = \sqrt {24} \] Phương trình mặt cầu đó là: \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 3} \right]^2} + {\left[ {z - 2} \right]^2} = 24\]. Chọn: D Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 3 : Trong không gian \[Oxyz\], tìm phương trình mặt cầu \[\left[ S \right]\] có tâm \[I\left[ {1; - 4;2} \right]\] và diện tích \[64\pi \].
Đáp án: D Phương pháp giải: Hình cầu có bán kính \[R\] thì có diện tích là \[S = 4\pi {R^2}\] Mặt cầu có tâm \[I\left[ {a;b;c} \right]\] và có bán kính \[R\] thì có phương trình \[{\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {y - b} \right]^2} + {\left[ {z - c} \right]^2} = {R^2}\] Lời giải chi tiết: Diện tích mặt cầu \[S = 4\pi {R^2} = 64\pi \Rightarrow R = 4.\] Phương trình mặt cầu tâm \[I\left[ {1; - 4;2} \right]\] và bán kính \[R = 4\] là \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 4} \right]^2} + {\left[ {z - 2} \right]^2} = 16\]. Chọn D. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 4 : Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm \[I\left[ {a;b;c} \right]\] tiếp xúc với trục Oy có phương trình là
Đáp án: A Phương pháp giải: +] Cho \[M\left[ {a;b;c} \right] \Rightarrow d\left[ {M;Oy} \right] = \sqrt {{a^2} + {c^2}} \]. +] Mặt cầu tâm \[I\left[ {a;b;c} \right]\] bán kính \[R\] có phương trình \[{\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {y - b} \right]^2} + {\left[ {z - c} \right]^2} = {R^2}\]. Lời giải chi tiết: Ta có \[d\left[ {I;Oy} \right] = \sqrt {{a^2} + {c^2}} \], suy ra mặt cầu tâm \[I[a;b;c]\]tiếp xúc với trục Oy có bán kính \[R = \sqrt {{a^2} + {c^2}} \]. Vậy phương trình mặt cầu là \[{\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {y - b} \right]^2} + {\left[ {z - c} \right]^2} = {a^2} + {c^2}\]. Chọn A. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 5 : Trong không gian \[Oxyz,\] cho hai điểm \[I\left[ {1; - 2;3} \right],M\left[ {0;1;5} \right].\] Phương trình mặt cầu có tâm \[I\] và đi qua \[M\] là
Đáp án: B Đáp án - Lời giải |
Câu hỏi 6 :
Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt cầu \[[S]:\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 6y + 8z - 7 = 0\]. Tọa độ tâm và bán kính mặt cầu [S] lần lượt là
- A \[I\left[ { - 2; - 3;4} \right];R = 36\].
- B \[I\left[ { - 2; - 3;4} \right];R = 6\].
- C \[I\left[ {2;3; - 4} \right];R = 36\].
- D \[I\left[ {2;3; - 4} \right];R = 6\].
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Phương trình mặt cầu có tâm \[I\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] , bán kính \[R:\,\,{\left[ {x - {x_0}} \right]^2} + {\left[ {y - {y_0}} \right]^2} + {\left[ {z - {z_0}} \right]^2} = {R^2}\].
Lời giải chi tiết:
\[[S]:\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 6y + 8z - 7 = 0 \Leftrightarrow {\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 3} \right]^2} + {\left[ {z + 4} \right]^2} = 36\]
Tọa độ tâm và bán kính mặt cầu [S] lần lượt là \[I\left[ {2;3; - 4} \right];R = 6\].
Chọn: D
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 7 :
Trong không gian \[Oxyz\], cho hai điểm \[A\left[ { - 3;2;1} \right],\,\,B\left[ {1;4; - 1} \right]\]. Phương trình mặt cầu đường kính \[AB\] là:
- A \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 3} \right]^2} + {z^2} = 24\]
- B \[{\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y - 3} \right]^2} + {z^2} = 24\]
- C \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 3} \right]^2} + {z^2} = 6\]
- D \[{\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y - 3} \right]^2} + {z^2} = 6\]
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Phương trình mặt cầu tâm \[I\left[ {a;b;c} \right]\] bán kính \[R\] là \[{\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {y - b} \right]^2} + {\left[ {z - c} \right]^2} = {R^2}\].
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu đường kính \[AB\] có tâm \[I\left[ { - 1;3;0} \right]\] là trung điểm của \[AB\], bán kính \[R = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}\sqrt {{4^2} + {2^2} + {{\left[ { - 2} \right]}^2}} = \sqrt 6 \].
Vậy phương trình mặt cầu đường kính \[AB\] là: \[{\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y - 3} \right]^2} + {z^2} = 6\].
Chọn D
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 8 :
Phương trình mặt phẳng \[\left[ P \right]\] chứa trục \[Oz\] và cắt mặt cầu\[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 6 = 0\] theo đường tròn có bán kính 3 là:
- A \[x + y = 0\].
- B \[x + 2y = 0\].
- C \[x - y = 0\].
- D \[x - 2y = 0\].
Đáp án: A
Phương pháp giải:
\[{d^2} + {r^2} = {R^2}\]
Trong đó, \[d\]: khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng [P],
\[r\]: bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu [S] và mặt phẳng [P],
\[R\]: bán kính hình cầu.
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu \[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 6 = 0\] có tâm \[I\left[ {1; - 1;1} \right]\], bán kính \[R = 3\]
\[ \Rightarrow \]Mặt phẳng \[\left[ P \right]\] cắt mặt cầu \[\left[ S \right]\] theo đường tròn có bán kính \[r = R = 3\]
\[ \Rightarrow \] \[\left[ P \right]\] đi qua tâm I của [S]
\[\left[ P \right]\] có 1 VTPT \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OI} ;\overrightarrow k } \right] = \left[ { - 1; - 1;0} \right]\], với \[\overrightarrow {OI} = \left[ {1; - 1;1} \right],\,\,\,\overrightarrow k = \left[ {0;0;1} \right]\]
Phương trình mặt phẳng \[\left[ P \right]\] là: \[ - 1\left[ {x - 0} \right] - 1\left[ {y - 0} \right] + 0 = 0 \Leftrightarrow x + y = 0\].
Chọn: A
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 9 :
Trong hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai điểm \[A\left[ {1;2;3} \right],B\left[ { - 1;4;1} \right]\]. Phương trình mặt cầu đường kính \[AB\] là
- A \[{\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y - 4} \right]^2} + {\left[ {z - 1} \right]^2} = 12\]
- B \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {\left[ {z - 3} \right]^2} = 12\]
- C \[{x^2} + {\left[ {y - 3} \right]^2} + {\left[ {z - 2} \right]^2} = 3\]
- D \[{x^2} + {\left[ {y - 3} \right]^2} + {\left[ {z - 2} \right]^2} = 12\]
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Mặt cầu đường kính \[AB\] có tâm là trung điểm \[AB\] và bán kính \[R = \dfrac{{AB}}{2}\].
Lời giải chi tiết:
Ta có : \[A\left[ {1;2;3} \right],B\left[ { - 1;4;1} \right]\] \[ \Rightarrow I\left[ {0;3;2} \right]\] là trung điểm \[AB\] và \[AB = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 \].
Mặt cầu \[\left[ S \right]\] đường kính \[AB\] có tâm \[I\left[ {0;3;2} \right]\] và bán kính \[R = \dfrac{{AB}}{2} = \sqrt 3 \]
\[ \Rightarrow \left[ S \right]:{\left[ {x - 0} \right]^2} + {\left[ {y - 3} \right]^2} + {\left[ {z - 2} \right]^2} = 3\] hay \[\left[ S \right]:{x^2} + {\left[ {y - 3} \right]^2} + {\left[ {z - 2} \right]^2} = 3\].
Chọn C.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 10 :
Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho mặt cầu \[\left[ S \right]\] có phương trình \[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z + 5 = 0\]. Tính diện tích mặt cầu \[\left[ S \right]\].
- A \[36\pi \].
- B \[42\pi \].
- C \[9\pi \].
- D \[12\pi \].
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Phương trình mặt cầu \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\] có tâm \[I\left[ {a;\,b;\,c} \right]\] và bán kính \[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} .\]
Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính \[R:\,\,S = 4\pi {R^2}.\]
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu đã cho có bán kính: \[R = \sqrt {1 + {2^2} + {3^2} - 5} = 3.\]
\[ \Rightarrow S = 4\pi {R^2} = 4\pi .9 = 36\pi .\]
Chọn A.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 11 :
Trong không gian \[Oxyz\], cho hai điểm \[A\left[ {2;0;2} \right]\] và \[B\left[ {0;4;0} \right]\]. Mặt cầu nhận đoạn thẳng \[AB\] làm đường kính có phương trình là
- A \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {\left[ {z - 1} \right]^2} = 36\]
- B \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {\left[ {z - 1} \right]^2} = 6\]
- C \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 2} \right]^2} + {\left[ {z - 1} \right]^2} = 6\]
- D \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 2} \right]^2} + {\left[ {z - 1} \right]^2} = 36\]
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Mặt cầu đường kính \[AB\] có tâm \[I\] là trung điểm của \[AB\] và bán kính \[R = \dfrac{{AB}}{2}\].
Lời giải chi tiết:
Có \[A\left[ {2;0;2} \right],\,\,B\left[ {0;4;0} \right] \Rightarrow I\left[ {1;2;1} \right]\] là trung điểm \[AB\] và \[AB = \sqrt {{{\left[ { - 2} \right]}^2} + {4^2} + {{\left[ { - 2} \right]}^2}} = 2\sqrt 6 \].
Khi đó mặt cầu đường kính \[AB\] có tâm \[I\left[ {1;2;1} \right]\] và bán kính \[R = \dfrac{{AB}}{2} = \sqrt 6 \] có phương trình:
\[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {\left[ {z - 1} \right]^2} = 6\].
Chọn B.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 12 :
Điều kiện cần và đủ để phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 6z + {m^2} - 9m + 4 = 0\] là phương trình mặt cầu là.
- A \[ - 1 \le m \le 10\].
- B \[m 10\].
- C \[m > 0\].
- D \[ - 1 < m < 10\]
Đáp án: D
Lời giải chi tiết:
Chọn D.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 13 :
Trong không gian\[Oxyz\] , cho hai điểm \[A\left[ {1;0;2} \right];B\left[ { - 1;2; - 4} \right].\] Phương trình mặt cầu đường kính \[AB\] là
- A \[{x^2} + {[y - 1]^2} + {[z + 1]^2} = 44.\]
- B \[{x^2} + {[y - 1]^2} + {[z + 1]^2} = 11.\]
- C \[{x^2} + {[y + 1]^2} + {[z - 1]^2} = 44.\]
- D \[{x^2} + {[y + 1]^2} + {[z - 1]^2} = 11.\]
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Mặt cầu đường kính \[AB\] tâm \[I\] là trung điểm \[AB\] và có bán kính \[R = \dfrac{{AB}}{2}\].
Lời giải chi tiết:
Ta có : \[A\left[ {1;0;2} \right],B\left[ { - 1;2; - 4} \right] \Rightarrow I\left[ {0;1; - 1} \right]\] là trung điểm \[AB\] và \[AB = 2\sqrt {11} \].
Mặt cầu đường kính \[AB\] có tâm \[I\left[ {0;1; - 1} \right]\] và bán kính \[R = \dfrac{{AB}}{2} = \sqrt {11} \] nên có phương trình:
\[{\left[ {x - 0} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {\left[ {z + 1} \right]^2} = 11\] hay \[{x^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {\left[ {z + 1} \right]^2} = 11\]
Chọn B.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 14 :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \[\left[ S \right]\]có phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 6y + 4z - 2 = 0\]. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của \[\left[ S \right]\]:
- A Tâm \[I[ - 1; - 3;2]\] và bán kính \[R = 4\]
- B Tâm \[I[1;3; - 2]\] và bán kính \[R = 2\sqrt 3 \]
- C Tâm \[I[1;3; - 2]\] và bán kính \[R = 4\]
- D
Tâm \[I[ - 1; - 3;2]\] và bán kính \[R = 16\]
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Phương trình mặt cầu \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\] với \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\] có tâm \[I\left[ {a;b;c} \right]\] và bán kính \[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \]
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu \[\left[ S \right]\] có phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 6y + 4z - 2 = 0\] suy ra tâm \[I\left[ {1;3; - 2} \right]\] và bán kính \[R = \sqrt {{1^2} + {3^2} + {{\left[ { - 2} \right]}^2} - \left[ { - 2} \right]} = 4.\]
Chọn C
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 15 :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \[A[2;2; - 1];B[ - 4;2; - 9]\] . Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.
- A \[{[x + 3]^2} + {y^2} + {[z + 4]^2} = 5\]
- B \[{[x + 1]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {[z + 5]^2} = 25\]
- C \[{[x + 6]^2} + {y^2} + {[z + 8]^2} = 25\]
- D \[{[x + 1]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {[z + 5]^2} = 5\]
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Mặt cầu đường kính \[AB\] có tâm là trung điểm \[AB\] và có bán kính \[R = \dfrac{{AB}}{2}\].
Lời giải chi tiết:
Ta có : \[A\left[ {2;2; - 1} \right],B\left[ { - 4;2; - 9} \right]\]\[ \Rightarrow I\left[ { - 1;2; - 5} \right]\] là trung điểm của \[AB\] và \[AB = \sqrt {{{\left[ { - 4 - 2} \right]}^2} + {{\left[ {2 - 2} \right]}^2} + {{\left[ { - 9 + 1} \right]}^2}} = 10\].
Mặt cầu đường kính \[AB\] có tâm \[I\left[ { - 1;2; - 5} \right]\] và bán kính \[R = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{10}}{2} = 5\] nên có phương trình \[{\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {\left[ {z + 5} \right]^2} = {5^2} = 25\].
Chọn B
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 16 :
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho điểm \[A\left[ {1;a;1} \right]\] và mặt cầu \[\left[ S \right]\] có phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2y + 4z - 9 = 0\]. Tập các giá trị của \[a\] để điểm \[A\] nằm trong khối cầu là
- A \[\left[ { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right]\]
- B \[\left[ { - 3;1} \right]\]
- C \[\left[ { - 1;3} \right]\]
- D \[\left[ { - 1;3} \right]\]
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Điểm \[A\] nằm trong khối cầu \[\left[ S \right]\] tâm \[I\] bán kính \[R\] khi \[IA < R\].
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu \[\left[ S \right]:\] \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2y + 4z - 9 = 0\] có tâm \[I\left[ {0;1; - 2} \right]\] và bán kính \[R = \sqrt {{0^2} + {1^2} + {{\left[ { - 2} \right]}^2} - \left[ { - 9} \right]} = \sqrt {14} \]
Để \[A\] nằm trong khối cầu thì \[IA < R \Leftrightarrow I{A^2} < {R^2} \Leftrightarrow {1^2} + {\left[ {a - 1} \right]^2} + {3^2} < 14\]
\[ \Leftrightarrow {\left[ {a - 1} \right]^2} < 4 \Leftrightarrow - 2 < a - 1 < 2 \Leftrightarrow - 1 < a < 3.\]
Chọn D.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 17 :
Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu?
- A \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - x + 1 = 0\]
- B
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 9 = 0\]
- C \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 9 = 0\]
- D \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2 = 0\]
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\] là phương trình của mặt cầu \[ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\].
Lời giải chi tiết:
Phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2 = 0\] là phương trình của mặt cầu \[ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 2 > 0\].
Chọn D
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 18 :
Trong không gian \[Oxyz\], phương trình của mặt cầu có tâm \[I\left[ {1; - 2; - 3} \right]\] và tiếp xúc với mặt phẳng \[\left[ {Oxz} \right]\] là
- A \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 2} \right]^2} + {\left[ {z + 3} \right]^2} = 4\]
- B \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 2} \right]^2} + {\left[ {z + 3} \right]^2} = 2\]
- C \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 2} \right]^2} + {\left[ {z + 3} \right]^2} = 1\]
- D \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {\left[ {z - 3} \right]^2} = 4\]
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Mặt cầu \[\left[ {I;R} \right]\] tiếp xúc với mặt phẳng \[\left[ P \right]\] nếu và chỉ nếu \[d\left[ {I,\left[ P \right]} \right] = R.\]
Lời giải chi tiết:
Gọi \[J\] là hình chiếu của \[I\left[ {1; - 2; - 3} \right]\] lên \[\left[ {Oxz} \right]\] thì \[J\left[ {1;0; - 3} \right]\]
\[ \Rightarrow IJ = \sqrt {{0^2} + {2^2} + {0^2}} = 2\].
\[\left[ S \right]\] tiếp xúc \[\left[ {Oxz} \right] \Leftrightarrow R = d\left[ {I,\left[ {Oxz} \right]} \right] = IJ = 2\] .
Vậy \[\left[ S \right]:{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 2} \right]^2} + {\left[ {z + 3} \right]^2} = {2^2} = 4\].
Chọn A.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 19 :
Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm \[I[ - 3;0;4]\] đi qua điểm \[A[ - 3;0;0]\]có phương trình là
- A \[{\left[ {x + 3} \right]^2} + {y^2} + {\left[ {z - 4} \right]^2} = 4\]
- B \[{\left[ {x - 3} \right]^2} + {y^2} + {\left[ {z + 4} \right]^2} = 4\]
- C \[{\left[ {x - 3} \right]^2} + {y^2} + {\left[ {z + 4} \right]^2} = 16\]
- D \[{\left[ {x + 3} \right]^2} + {y^2} + {\left[ {z - 4} \right]^2} = 16\]
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Phương trình mặt cầu tâm \[I\left[ {a;\,b;\,c} \right]\] và bán kính \[R:\,\,{\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {y - b} \right]^2} + {\left[ {z - c} \right]^2} = {R^2}.\]
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu có tâm \[I\] và đi qua \[A \Rightarrow R = IA = \sqrt {{{\left[ { - 3 + 3} \right]}^2} + {{\left[ {0 - 4} \right]}^2}} = 4.\]
Phương trình mặt cầu tâm \[I\left[ { - 3;\,0;\,4} \right]\] và bán kính \[R = 4\] là: \[{\left[ {x + 3} \right]^2} + {y^2} + {\left[ {z - 4} \right]^2} = 16.\]
Chọn D.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 20 :
Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu \[\left[ S \right]:{\left[ {x + 4} \right]^2} + {\left[ {y - 5} \right]^2} + {\left[ {z + 6} \right]^2} = 9\] có tâm và bán kính lần lượt là
- A \[I[ - 4;5; - 6],R = 81\]
- B \[I[ - 4;5; - 6],R = 3\]
- C \[I[4; - 5;6],R = 3\]
- D \[I[4; - 5;6],R = 81\]
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Mặt cầu \[\left[ S \right]:\,\,{\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {y - b} \right]^2} + {\left[ {z - c} \right]^2} = {R^2}\] có tâm \[I\left[ {a;b;c} \right]\], bán kính \[R\].
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu \[\left[ S \right]:{\left[ {x + 4} \right]^2} + {\left[ {y - 5} \right]^2} + {\left[ {z + 6} \right]^2} = 9\] có tâm \[I\left[ { - 4;5; - 6} \right]\], bán kính \[R = 3\].
Chọn B.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 21 :
Trong không gian với hệ toạ độ \[Oxyz\], cho hai điểm\[A\left[ {1;3;2} \right],{\rm{ }}B\left[ {3;5;0} \right]\]. Phương trình mặt cầu có đường kính \[AB\] là
- A
\[{[x - 2]^2} + {[y - 4]^2} + {[z - 1]^2} = 2.\]
- B \[{[x + 2]^2} + {[y + 4]^2} + {[z + 1]^2} = 3.\]
- C \[{[x - 2]^2} + {[y - 4]^2} + {[z - 1]^2} = 3.\]
- D \[{[x + 2]^2} + {[y + 4]^2} + {[z + 1]^2} = 2.\]
Đáp án: C
Lời giải chi tiết:
Chọn C.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 22 :
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 6z + 5 = 0\]. Mặt phẳng tiếp xúc với [S] và song song với mặt phẳng \[[P]:2x - y + 2z - 11 = 0\] có phương trình là:
- A \[2{\rm{x}} - y + 2{\rm{z}} - 7 = 0\]
- B \[2{\rm{x}} - y + 2{\rm{z}} + 9 = 0\]
- C \[2{\rm{x}} - y + 2{\rm{z + 7}} = 0\]
- D \[2{\rm{x}} - y + 2z - 9 = 0\]
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Mặt phẳng \[\left[ Q \right]\] song song với mặt phẳng \[\left[ P \right]:ax + by + cz + d = 0\] thì có phương trình \[ax + by + cz + d' = 0\,\,\,\,\left[ {d \ne d'} \right]\]
Mặt phẳng \[\left[ Q \right]\] tiếp xúc với mặt cầu \[\left[ S \right]\] tâm \[I\] bán kính \[R\] thì \[d\left[ {I;\left[ Q \right]} \right] = R\]
Từ đó tìm được \[d' \Rightarrow \] ptmp \[\left[ Q \right].\]
Lời giải chi tiết:
Gọi \[\left[ Q \right]\] là mặt phẳng cần tìm, khi đó \[\left[ Q \right]//\left[ P \right] \Rightarrow \] mặt phẳng \[\left[ Q \right]\] có phương trình \[2x - y + 2z + d = 0\,\left[ {d \ne - 11} \right]\]
Mặt cầu \[\left[ S \right]\] có tâm \[I\left[ { - 1;2;3} \right];R = \sqrt {{{\left[ { - 1} \right]}^2} + {2^2} + {3^2} - 5} = 3\]
Mà mặt phẳng \[\left[ Q \right]\] tiếp xúc với mặt cầu \[\left[ S \right]\] nên \[d\left[ {I;\left[ Q \right]} \right] = 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 2 - 2 + 2.3 + d} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left[ { - 1} \right]}^2} + {2^2}} }} = 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| {2 + d} \right|}}{3} = 3\]
\[ \Leftrightarrow \left| {2 + d} \right| = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 7\,\,\,\,\left[ {tm} \right]\\d = - 11\,\,\,\left[ {ktm} \right]\end{array} \right.\]
Vậy phương trình mặt phẳng \[\left[ Q \right]:2x - y + 2z + 7 = 0\]
Chọn C.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 23 :
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho mặt cầu \[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 4y - 12 = 0\]. Mặt phẳng nào sau đây cắt \[\left[ S \right]\] theo một đường tròn có bán kính \[r = 3\]?
- A \[4x - 3y - z - 4\sqrt {26} = 0\]
- B \[2x + 2y - z + 12 = 0\]
- C \[3x - 4y + 5z - 17 + 20\sqrt 2 = 0\]
- D \[x + y + z + \sqrt 3 = 0\]
Đáp án: C
Phương pháp giải:
- Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến \[\left[ P \right]\], sử dụng công thức \[d = \sqrt {{R^2} - {r^2}} \].
- Đối chiếu với các đáp án: Kiểm tra \[d\left[ {I,\left[ P \right]} \right]\] bằng kết quả vừa tìm được ở trên và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu \[\left[ S \right]\] có tâm \[I\left[ {3; - 2;0} \right]\] và bán kính \[R = \sqrt {{3^2} + 0 + {2^2} + 12} = 5\].
Khoảng cách từ \[I\] đến \[\left[ P \right]\] là \[d\left[ {I,\left[ P \right]} \right] = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\] .
Đối chiếu các đáp án ta thấy:
Đáp án A: \[d\left[ {I,\left[ P \right]} \right] = \dfrac{{\left| {4.3 - 3.\left[ { - 2} \right] - 0 - 4\sqrt 6 } \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left[ { - 3} \right]}^2} + {{\left[ { - 1} \right]}^2}} }} \ne 4\] nên loại A.
Đáp án B: \[d\left[ {I,\left[ P \right]} \right] = \dfrac{{\left| {2.3 + 2.\left[ { - 2} \right] - 0 + 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left[ { - 1} \right]}^2}} }} = \dfrac{{14}}{3} \ne 4\] nên loại B.
Đáp án C: \[d\left[ {I,\left[ P \right]} \right] = \dfrac{{\left| {3.3 - 4.\left[ { - 2} \right] + 5.0 - 17 + 20\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left[ { - 4} \right]}^2} + {5^2}} }} = 4\] nên chọn C.
Chọn C.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 24 :
Trong không gian \[Oxyz,\] xét mặt cầu \[\left[ S \right]\] có phương trình dạng \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 2az + 10a = 0.\] Tập hợp các giá trị thực của \[a\] để \[\left[ S \right]\] có chu vi đường tròn lớn bằng \[8\pi \] là
- A \[\left\{ {1;10} \right\}\]
- B \[\left\{ { - 10;2} \right\}\]
- C \[\left\{ { - 1;11} \right\}\]
- D \[\left\{ {1; - 11} \right\}\]
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Xác định tâm và bán kính mặt cầu \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\] với \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\] có tâm \[I\left[ {a;b;c} \right]\] và bán kính \[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \]
Chu vi đường tròn bán kính \[R\] là \[C = 2\pi R\]
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 2az + 10a = 0\] có:
+] Tâm \[I\left[ {2; - 1;a} \right]\]
+] Bán kính \[R = \sqrt {{2^2} + {{\left[ { - 1} \right]}^2} + {a^2} - 10a} = \sqrt {{a^2} - 10a + 5} \,\,\]với điều kiện \[{a^2} - 10a + 5 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a > 5 + 2\sqrt 5 \\a < 5 - 2\sqrt 5 \end{array} \right.\] .
Đường tròn lớn của hình cầu có bán kính \[R = \sqrt {{a^2} - 10a + 5} \] nên chu vi \[C = 2\pi \sqrt {{a^2} - 10a + 5} \]
Theo đề bài ta có:
\[\begin{array}{l}C = 8\pi \Leftrightarrow 2\pi \sqrt {{a^2} - 10a + 5} = 8\pi \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} - 10a + 5} = 4\\ \Leftrightarrow {a^2} - 10a + 5 = 16 \Leftrightarrow {a^2} - 10a - 11 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 1\\a = 11\end{array} \right.\,\,\,\left[ {tm} \right]\end{array}\]
Vậy \[a = \left\{ { - 1;11} \right\}\]
Chọn C.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 25 :
Trong không gian \[Oxyz\], phương trình mặt cầu \[\left[ S \right]\] đường kính \[AB\] với \[A\left[ {4; - 3;5} \right]\], \[B\left[ {2;1;3} \right]\] là
- A \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 6x + 2y - 8z - 26 = 0\]
- B
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 2y - 8z + 20 = 0\]
- C \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 6x - 2y + 8z - 20 = 0\]
- D \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 2y - 8z + 26 = 0\]
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Mặt cầu đường kính \[AB\] nhận trung điểm của \[AB\] làm tâm và \[R = \dfrac{{AB}}{2}\].
Lời giải chi tiết:
\[AB = \sqrt {{2^2} + {{\left[ { - 4} \right]}^2} + {2^2}} = 2\sqrt 6 \] suy ra bán kính \[R = \sqrt 6 \].
Trung điểm của \[AB\] là \[I\left[ {3; - 1;4} \right]\].
Vậy phương trình mặt cầu là \[\left[ S \right]:{\left[ {x - 3} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} + {\left[ {x - 4} \right]^2} = 6 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 2y - 8z + 20 = 0\].
Chọn B.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 26 :
Trong không gian \[Oxyz\], tìm điều kiện của tham số \[m\] để phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2mx + 4y + 2mz + {m^2} + 5m = 0\] là phương trình mặt cầu.
- A \[m < 4\].
- B \[\left[ \begin{array}{l}m \le 1\\m \ge 4\end{array} \right.\].
- C \[m > 1\].
- D \[\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 4\end{array} \right.\].
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\] là phương trình mặt cầu khi \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\]
Lời giải chi tiết:
Phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2mx + 4y + 2mz + {m^2} + 5m = 0\] có \[a = m;b = - 2;c = m;d = {m^2} + 5m\]
Phương trình trên là phương trình mặt cầu khi \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\]
\[ \Leftrightarrow {m^2} + 4 + {m^2} - \left[ {{m^2} + 5m} \right] > 0\]\[ \Leftrightarrow {m^2} - 5m + 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 4\\m < 1\end{array} \right.\].
Chọn D.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 27 :
Cho hai điểm \[A[3; - 1;2]\] và \[B[5;3; - 2].\] Mặt cầu nhận đoạn \[AB\] làm đường kính có phương trình là
- A \[{\left[ {x + 4} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} + {z^2} = 9\,.\]
- B \[{\left[ {x + 4} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} + {z^2} = 36\,.\]
- C \[{\left[ {x - 4} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {z^2} = 36\,.\]
- D \[{\left[ {x - 4} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {z^2} = 9\,.\]
Đáp án: D
Phương pháp giải:
+ Tâm mặt cầu là trung điểm đoạn \[AB\]
+ Bán kính mặt cầu là \[R = \dfrac{{AB}}{2}\]
+ Phương trình mặt cầu có tâm \[I\left[ {a;b;c} \right]\] và bán kính \[R\] là \[{\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {y - b} \right]^2} + {\left[ {z - c} \right]^2} = {R^2}\]
Lời giải chi tiết:
+ Tâm mặt cầu là trung điểm \[I\] của đoạn \[AB\], suy ra \[I\left[ {4;1;0} \right]\]
+ Lại có \[AB = \sqrt {{{\left[ {5 - 3} \right]}^2} + {{\left[ {3 + 1} \right]}^2} + {{\left[ { - 2 - 2} \right]}^2}} = \sqrt {36} = 6\] nên bán kính mặt cầu là \[R = \dfrac{{AB}}{2} = 3\].
+ Phương trình mặt cầu có tâm \[I\left[ {4;1;0} \right]\] và bán kính \[R = 3\] là \[{\left[ {x - 4} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {z^2} = 9\]
Chọn D.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 28 :
Cho 4 điểm \[A\left[ {3; - 2; - 2} \right];B\left[ {3;2;0} \right];C\left[ {0;2;1} \right];D\left[ { - 1;1;2} \right]\]. Mặt cầu tâm \[A\] và tiếp xúc với mặt phẳng \[\left[ {BCD} \right]\] có phương trình là
- A \[{\left[ {x - 3} \right]^2} + {\left[ {y + 2} \right]^2} + {\left[ {z + 2} \right]^2} = \sqrt {14} \]
- B \[{\left[ {x - 3} \right]^2} + {\left[ {y + 2} \right]^2} + {\left[ {z + 2} \right]^2} = 14\]
- C \[{\left[ {x + 3} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {\left[ {z - 2} \right]^2} = \sqrt {14} \]
- D \[{\left[ {x + 3} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {\left[ {z - 2} \right]^2} = 14\]
Đáp án: B
Phương pháp giải:
+ Mặt cầu \[\left[ S \right]\] có tâm \[I\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] và tiếp xúc với mặt phẳng \[\left[ P \right]\] thì có bán kính \[R = d\left[ {I;\left[ P \right]} \right]\] và phương trình mặt cầu là \[{\left[ {x - {x_0}} \right]^2} + {\left[ {y - {y_0}} \right]^2} + {\left[ {z - {z_0}} \right]^2} = {R^2}\]
+ Mặt phẳng đi qua ba điểm \[A,B,C\] có 1 VTPT là \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]\]
Lời giải chi tiết:
+ Ta có \[\overrightarrow {BC} = \left[ { - 3;0;1} \right];\overrightarrow {BD} = \left[ { - 4; - 1;2} \right] \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] = \left[ {1;2;3} \right]\]
+ Mặt phẳng \[\left[ {BCD} \right]\] đi qua \[B\left[ {3;2;0} \right]\] và có 1 VTPT là \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] = \left[ {1;2;3} \right]\] nên phương trình mặt phẳng \[\left[ {BCD} \right]\] là \[1\left[ {x - 3} \right] + 2\left[ {y - 2} \right] + 3\left[ {z - 0} \right] = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 7 = 0\]
+ Vì mặt cầu \[\left[ S \right]\] tâm \[A\] tiếp xúc với mặt phẳng \[\left[ {BCD} \right]\] nên bán kính mặt cầu là
\[R = d\left[ {A;\left[ {BCD} \right]} \right] = \frac{{\left| {3 + 2.\left[ { - 2} \right] + 3.\left[ { - 2} \right] - 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \sqrt {14} \]
Phương trình mặt cầu \[\left[ S \right]\] là \[{\left[ {x - 3} \right]^2} + {\left[ {y + 2} \right]^2} + {\left[ {z + 2} \right]^2} = 14\]
Chọn B.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 29 :
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \[A\left[ { - 2;1;0} \right],\,B\left[ {2; - 1;2} \right]\]. Phương trình của mặt cầu có đường kính AB là:
- A \[{x^2} + {y^2} + {\left[ {z - 1} \right]^2} = 24\].
- B \[{x^2} + {y^2} + {\left[ {z - 1} \right]^2} = 6\].
- C \[{x^2} + {y^2} + {\left[ {z - 1} \right]^2} = \sqrt {24} \].
- D \[{x^2} + {y^2} + {\left[ {z - 1} \right]^2} = \sqrt 6 \].
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Phương trình của mặt cầu tâm I[a;b;c] bán kính R là: \[{\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {y - b} \right]^2} + {\left[ {z - c} \right]^2} = {R^2}\].
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu có đường kính AB có tâm \[I\left[ {0;0;1} \right]\] là trung điểm của AB và bán kính \[R = IA = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 6 \], có phương trình là: \[{x^2} + {y^2} + {\left[ {z - 1} \right]^2} = 6\].
Chọn: B
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 30 :
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\] phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu?
- A \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + x - 2y + 4z - 3 = 0\]
- B \[2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - x - y - z = 0\]
- C \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 4z + 10 = 0\]
- D \[2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 4x + 8y + 6z + 3 = 0\]
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\] là phương trình mặt cầu \[ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0.\]
Lời giải chi tiết:
Xét từng đáp án ta được:
+] Đáp án A: có: \[a = - \frac{1}{2};\,\,b = 1;\,\,c = - 2,\,\,d = - 3 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = \frac{{33}}{4} > 0\] \[ \Rightarrow \] phương trình này là phương trình mặt cầu.
+] Đáp án B: \[2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - x - y - z = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y - \frac{1}{2}z = 0\] có: \[a = \frac{1}{4};\,\,b = \frac{1}{4};\,\,c = \frac{1}{4},\,\,d = 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = \frac{3}{{16}} > 0\] \[ \Rightarrow \] phương trình này là phương trình mặt cầu.
+] Đáp án C: có: \[a = 1;\,\,b = - 2;\,\,c = 2,\,\,d = 10 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = - 1 < 0\] phương trình này không là phương trình mặt cầu.
Chọn C.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 31 :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] có phương trình \[2x + y - z - 1 = 0\] và mặt cầu [S] có phương trình \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {\left[ {z + 2} \right]^2} = 4\]. Xác định bán kính r của đường tròn là giao tuyến của \[\left[ \alpha \right]\] và mặt cầu [S].
- A \[r = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\].
- B \[r = \dfrac{{2\sqrt 7 }}{3}\].
- C \[r = \dfrac{{2\sqrt {15} }}{3}\].
- D \[r = \dfrac{{2\sqrt {42} }}{3}\].
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Sử dụng mối quan hệ \[{d^2} + {r^2} = {R^2}\].
Trong đó, \[d\]: khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng [P],
\[r\]: bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu [S] và mặt phẳng [P],
\[R\]: bán kính hình cầu.
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {\left[ {z + 2} \right]^2} = 4\] có tâm \[I\left[ {1;1; - 2} \right]\], bán kính \[R = 2\]
\[d = d\left[ {I;\left[ \alpha \right]} \right] = \dfrac{{\left| {2.1 + 1 - \left[ { - 2} \right] - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{4}{{\sqrt 6 }} = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\]
Ta có: \[{d^2} + {r^2} = {R^2} \Leftrightarrow {\left[ {\dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right]^2} + {r^2} = {2^2} \Leftrightarrow {r^2} = \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow r = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\].
Bán kính r của đường tròn là giao tuyến của \[\left[ \alpha \right]\] và mặt cầu \[\left[ S \right]\] là \[r = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\].
Chọn: A
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 32 :
Trong không gian Oxyz, cho \[A\left[ {1;3;5} \right],\,\,B\left[ { - 5; - 3; - 1} \right]\]. Phương trình mặt cầu đường kính AB là:
- A \[{\left[ {x + 2} \right]^2} + {y^2} + {\left[ {z - 2} \right]^2} = 27\].
- B \[{\left[ {x - 2} \right]^2} + {y^2} + {\left[ {z + 2} \right]^2} = 3\sqrt 3 \].
- C \[{\left[ {x + 2} \right]^2} + {y^2} + {\left[ {z - 2} \right]^2} = 3\sqrt 3 \].
- D \[{\left[ {x - 2} \right]^2} + {y^2} + {\left[ {z + 2} \right]^2} = 27\].
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Phương trình đường tròn có tâm \[I[{x_0};{y_0};{z_0}]\], bán kính \[R\] : \[{[x - {x_0}]^2} + {[y - {y_0}]^2} + {[z - {z_0}]^2} = {R^2}\].
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu đường kính AB có tâm \[I\left[ { - 2;0;2} \right]\] và bán kính \[R = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{\sqrt {{6^2} + {6^2} + {6^2}} }}{2} = 3\sqrt 3 \], có phương trình là:
\[{\left[ {x + 2} \right]^2} + {y^2} + {\left[ {z - 2} \right]^2} = 27\].
Chọn: A
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 33 :
Trong không gian \[Oxyz\] cho điểm \[I\left[ {2;\,3;\,4} \right]\] và \[A\left[ {1;\,2;\,3} \right].\] Phương trình mặt cầu tâm \[I\] và đi qua \[A\] có phương trình là:
- A \[{\left[ {x + 2} \right]^2} + {\left[ {y + 3} \right]^2} + {\left[ {z + 4} \right]^2} = 3\]
- B \[{\left[ {x + 2} \right]^2} + {\left[ {y + 3} \right]^2} + {\left[ {z + 4} \right]^2} = 9\]
- C \[{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 3} \right]^2} + {\left[ {z - 4} \right]^2} = 45\]
- D \[{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 3} \right]^2} + {\left[ {z - 4} \right]^2} = 3\]
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Phương trình mặt cầu tâm \[I\left[ {a;\,b;\,c} \right]\] và bán kính \[R:\,\,{\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {y - b} \right]^2} + {\left[ {z - c} \right]^2} = {R^2}.\]
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu tâm \[I\] đi qua \[A \Rightarrow IA = R \Leftrightarrow R = \sqrt {{{\left[ {1 - 2} \right]}^2} + {{\left[ {2 - 3} \right]}^2} + {{\left[ {3 - 4} \right]}^2}} = \sqrt 3 .\]
\[ \Rightarrow \left[ S \right]:\,\,{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 3} \right]^2} + {\left[ {z - 4} \right]^2} = 3.\]
Chọn D.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 34 :
Trong hệ tọa độ \[Oxyz\], cho điểm \[I\left[ {2; - 1; - 1} \right]\] và mặt phẳng \[\left[ P \right]:x - 2y - 2z + 3 = 0\]. Viết phương trình mặt cầu \[\left[ S \right]\] có tâm \[I\] và tiếp xúc với mặt phẳng \[\left[ P \right]\]
- A \[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z - 3 = 0\]
- B \[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + y + z - 3 = 0\]
- C \[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z + 1 = 0\]
- D \[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + y + z + 1 = 0\]
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Tính \[R = d\left[ {I,\left[ P \right]} \right]\] và viết phương trình mặt cầu.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[R = d\left[ {I,\left[ P \right]} \right] = \dfrac{{\left| {2 - 2.\left[ { - 1} \right] - 2.\left[ { - 1} \right] + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 3\]
Phương trình mặt cầu: \[\left[ S \right]:{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} + {\left[ {z + 1} \right]^2} = {3^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z - 3 = 0\].
Chọn A.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 35 :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \[A\left[ {3; - 2; - 2} \right],\,B\left[ {3;2;0} \right]\]. Phương trình mặt cầu đường kính AB là:
- A \[{\left[ {x - 3} \right]^2} + {y^2} + {\left[ {z + 1} \right]^2} = 20\].
- B \[{\left[ {x - 3} \right]^2} + {y^2} + {\left[ {z + 1} \right]^2} = 5\].
- C \[{\left[ {x + 3} \right]^2} + {y^2} + {\left[ {z - 1} \right]^2} = 5\].
- D \[{\left[ {x + 3} \right]^2} + {y^2} + {\left[ {z - 1} \right]^2} = 20\]
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Phương trình mặt cầu có tâm \[I[{x_0};{y_0};{z_0}]\] , bán kính \[R\]: \[{[x - {x_0}]^2} + {[y - {y_0}]^2} + {[z - {z_0}]^2} = {R^2}\] .
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu đường kính AB có tâm \[I\left[ {3;0; - 1} \right]\] là trung điểm của đoạn thẳng AB và bán kính \[R = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{\sqrt {{0^2} + {4^2} + {2^2}} }}{2} = \sqrt 5 \], có phương trình là: \[{\left[ {x - 3} \right]^2} + {y^2} + {\left[ {z + 1} \right]^2} = 5\].
Chọn: B
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 36 :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \[\left[ S \right]:{\left[ {x + 3} \right]^2} + {y^2} + {\left[ {z - 2} \right]^2} = {m^2} + 4\]. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt cầu [S] tiếp xúc với [Oyz].
- A \[m = 0\].
- B \[m = 2\];\[m = - 2\].
- C \[m = \sqrt 5 \].
- D \[m = \sqrt 5 \];\[m = - \sqrt 5 \]
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Mặt cầu \[\left[ S \right]\] tâm I, bán kính R tiếp xúc với mặt phẳng [P] khi và chỉ khi \[d\left[ {I;\left[ P \right]} \right] = R\].
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu \[\left[ S \right]:{\left[ {x + 3} \right]^2} + {y^2} + {\left[ {z - 2} \right]^2} = {m^2} + 4\] có tâm \[I\left[ { - 3;0;2} \right]\], bán kính \[R = \sqrt {{m^2} + 4} \]
Mặt cầu [S] tiếp xúc với [Oyz] \[ \Leftrightarrow d\left[ {I;\left[ {Oyz} \right]} \right] = R \Leftrightarrow 3 = \sqrt {{m^2} + 4} \Leftrightarrow {m^2} + 4 = 9 \Leftrightarrow {m^2} = 5 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 5 \].
Chọn: D
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 37 :
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho mặt cầu \[\left[ S \right]\] có tâm \[I\left[ {3;2; - 1} \right]\] và đi qua điểm \[A\left[ {2;1;2} \right]\]. Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với \[\left[ S \right]\] tại \[A\]?
- A \[x + y - 3z - 8 = 0\]
- B \[x + y - 3z + 3 = 0\]
- C \[x + y + 3z - 9 = 0\]
- D \[x - y - 3z + 3 = 0\]
Đáp án: B
Phương pháp giải:
\[\left[ P \right]\] tiếp xúc với \[\left[ S \right] \Leftrightarrow d\left[ {I;\left[ P \right]} \right] = R\] với \[I,R\] lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu \[\left[ S \right]\].
Lời giải chi tiết:
Xét đáp án B ta có: \[x + y - 3z + 3 = 0\,\,\left[ P \right]\]
\[\begin{array}{l}d\left[ {I;\left[ P \right]} \right] = \dfrac{{\left| {1.3 + 1.2 - 3\left[ { - 1} \right] + 3} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 9} }} = \dfrac{{11}}{{\sqrt {11} }} = \sqrt {11} \\R = IA = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^2}} = \sqrt {11} \\ \Rightarrow d\left[ {I;\left[ P \right]} \right] = R\end{array}\]
Do đó mặt phẳng ở đáp án B tiếp xúc với mặt cầu \[\left[ S \right]\].
Chọn B.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 38 :
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu\[\left[ S \right]\]tâm \[I[a;b;c]\]bán kính bằng 1, tiếp xúc mặt phẳng \[\left[ {Oxz} \right].\]Khẳng định nào sau đây đúng?
- A
\[\left| a \right| = 1.\]
- B
\[a + b + c = 1.\]
- C
\[\left| b \right| = 1.\]
- D \[\left| c \right| = 1.\]
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Mặt cầu\[\left[ S \right]\] tâm \[I[a;b;c]\]bán kính bằng R, tiếp xúc mặt phẳng \[\left[ P \right] \Leftrightarrow d\left[ {I;\left[ P \right]} \right] = R\].
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu\[\left[ S \right]\]tâm \[I[a;b;c]\]bán kính bằng 1, tiếp xúc mặt phẳng \[\left[ {Oxz} \right]\,\, \Leftrightarrow \]\[d\left[ {I;\left[ {Oxz} \right]} \right] = 1\]\[ \Leftrightarrow \left| b \right| = 1\].
Chọn: C
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 39 :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu \[\left[ S \right]\] có tâm \[I\left[ {0;1; - 1} \right]\] và tiếp xúc với mặt phẳng \[\left[ P \right]:2x - y + 2z - 3 = 0\].
- A \[{x^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} + {\left[ {z + 1} \right]^2} = 4\]
- B \[{x^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} + {\left[ {z - 1} \right]^2} = 4\].
- C \[{x^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {\left[ {z + 1} \right]^2} = 4\].
- D \[{x^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {\left[ {z + 1} \right]^2} = 2\].
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Mặt cầu \[\left[ S \right]\] có tâm \[I\] bán kính R, tiếp xúc với mặt phẳng \[\left[ P \right]\]\[ \Leftrightarrow d\left[ {I;\left[ P \right]} \right] = R\].
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu \[\left[ S \right]\] có tâm \[I\left[ {0;1; - 1} \right]\] và tiếp xúc với mặt phẳng \[\left[ P \right]:2x - y + 2z - 3 = 0\]
\[ \Leftrightarrow R = d\left[ {I;\left[ P \right]} \right]\]\[ \Leftrightarrow R = \dfrac{{\left| {0 - 1 - 2 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 2\]
Phương trình mặt cầu \[\left[ S \right]\] tâm \[I\left[ {0;1; - 1} \right]\], bán kính \[R = 2\] là: \[{x^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {\left[ {z + 1} \right]^2} = 4\].
Chọn: C
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 40 :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \[\left[ S \right]:\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left[ {x + 2y + 3z} \right] = 0\]. Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm [ khác gốc tọa độ O] của mặt cầu và các trục tọa độ \[Ox,\,Oy,\,Oz\]. Phương trình mặt phẳng \[\left[ {ABC} \right]\] là:
- A \[6x - 3y - 2z - 12 = 0\].
- B \[6x + 3y + 2z - 12 = 0\].
- C \[6x - 3y - 2z + 12 = 0\].
- D \[6x - 3y + 2z - 12 = 0\].
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Xác định tọa độ 3 điểm A, B, C. Viết phương trình mặt phẳng [ABC] theo đoạn chắn: \[\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\].
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left[ {x + 2y + 3z} \right] = 0\]
Cho \[y = z = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,[L]\\x = 2\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow x = 2 \Rightarrow A\left[ {2;0;0} \right]\]
Cho \[x = z = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\,\,[L]\\y = 4\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow y = 4 \Rightarrow B\left[ {0;4;0} \right]\]
Cho \[x = y = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 0\,\,[L]\\z = 6\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow z = 6 \Rightarrow C\left[ {0;0;6} \right]\]
Phương trình [ABC] là: \[\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{4} + \dfrac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 12 = 0\].
Chọn: B
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 41 :
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy,\] cho đường tròn \[\left[ S \right]\] có tâm \[I\] nằm trên đường thẳng \[y = - x,\] bán kính bằng \[R = 3\] và tiếp xúc với các trục tọa độ. Lập phương trình của \[\left[ S \right],\] biết hoành độ tâm \[I\] là số dương.
- A \[{\left[ {x - 3} \right]^2} + {\left[ {y - 3} \right]^2} = 9\]
- B \[{\left[ {x - 3} \right]^2} + {\left[ {y + 3} \right]^2} = 9\]
- C \[{\left[ {x - 3} \right]^2} - {\left[ {y - 3} \right]^2} = 9\]
- D \[{\left[ {x + 3} \right]^2} + {\left[ {y + 3} \right]^2} = 9\]
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Phương trình đường tròn tâm \[I\left[ {a;\,b} \right]\] và bán kính \[R\] là:\[{\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {y - b} \right]^2} = {R^2}.\]
Lời giải chi tiết:
Gọi\[I\left[ {a;\, - a} \right]\,\,\left[ {a > 0} \right]\] thuộc đường thẳng \[y = - x\].
\[ \Rightarrow \left[ S \right]:\,\,{\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {y + a} \right]^2} = 9.\]
\[\left[ S \right]\] tiếp xúc với các trục tọa độ \[ \Rightarrow d\left[ {I;\,Ox} \right] = d\left[ {I;\,Oy} \right] = R = 3\]
\[ \Leftrightarrow \left| {{x_I}} \right| = \left| {{y_I}} \right| = 3 \Leftrightarrow a = 3 \Rightarrow \left[ S \right]:\,\,{\left[ {x - 3} \right]^2} + {\left[ {y + 3} \right]^2} = 9.\]
Chọn B.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 42 :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \[A\left[ {3;2;0} \right],B\left[ {1;0; - 4} \right]\]. Mặt cầu nhận AB làm đường kính có phương trình là:
- A \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 2y - 4z - 15 = 0\]
- B \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 2y - 4z + 3 = 0\].
- C \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 4z + 3 = 0\] .
- D \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 4z - 15 = 0\].
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Mặt cầu nhận AB làm đường kính có tâm là trung điểm của AB và bán kính \[R = \dfrac{{AB}}{2}\].
Lời giải chi tiết:
Gọi I là trung điểm của AB \[ \Rightarrow I\left[ {2;1; - 2} \right],\,\,IA = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}} = \sqrt 6 \]
Phương trình mặt cầu nhận AB làm đường kính là:
\[{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {\left[ {z + 2} \right]^2} = 6 \Leftrightarrow \]\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 4z + 3 = 0\].
Chọn: C
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 43 :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm \[I\left[ {2; - 1;3} \right]\] tiếp xúc với mặt phẳng [Oxy] có phương trình là:
- A \[{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} + {\left[ {z - 3} \right]^2} = 9\]
- B \[{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} + {\left[ {z - 3} \right]^2} = 4\].
- C \[{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} + {\left[ {z - 3} \right]^2} = 2\].
- D \[{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} + {\left[ {z - 3} \right]^2} = 3\].
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Phương trình mặt cầu tâm \[I\left[ {a;b;c} \right]\] bán kính R là: \[{\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {y - b} \right]^2} + {\left[ {z - c} \right]^2} = {R^2}\]
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu tâm \[I\left[ {2; - 1;3} \right]\] tiếp xúc với mặt phẳng [Oxy] \[ \Rightarrow R = d\left[ {I;\left[ {Oxy} \right]} \right] = \left| {{z_I}} \right| = 3\]
Phương trình mặt cầu đó là: \[{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} + {\left[ {z - 3} \right]^2} = 9\].
Chọn: A
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 44 :
Trong không gian \[Oxyz\] , cho hai điểm \[I\left[ {1;1;1} \right]\] và \[A = \left[ {1;2;3} \right]\]. Phương trình của mặt cầu tâm \[I\] và đi qua \[A\] là
- A \[{\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} + {\left[ {z + 1} \right]^2} = 29\]
- B \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {\left[ {z - 1} \right]^2} = 5\]
- C \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {\left[ {z - 1} \right]^2} = 25\]
- D \[{\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} + {\left[ {z + 1} \right]^2} = 5\]
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Tính bán kính \[R = IA = \sqrt {{{\left[ {{x_A} - {x_I}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_A} - {y_I}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_A} - {y_I}} \right]}^2}} \]
Phương trình mặt cầu có tâm \[I\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] và có bán kính \[R\] có dạng
\[{\left[ {x - {x_0}} \right]^2} + {\left[ {y - {y_0}} \right]^2} + {\left[ {z - {z_0}} \right]^2} = {R^2}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có bán kính mặt cầu \[R = IA = \sqrt {{{\left[ {1 - 1} \right]}^2} + {{\left[ {2 - 1} \right]}^2} + {{\left[ {3 - 1} \right]}^2}} = \sqrt 5 \]
Phương trình mặt cầu tâm \[I\left[ {1;1;1} \right]\] và bán kính \[R = \sqrt 5 \] là \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {\left[ {z - 1} \right]^2} = 5\]
CHỌN B.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 45 :
Trong không gian \[Oxyz\], cho hai điểm \[A\left[ {1;2;3} \right],\,\,B\left[ {3;2;1} \right]\]. Phương trình mặt cầu đường kính \[AB\] là:
- A \[{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {\left[ {z - 2} \right]^2} = 2\]
- B \[{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {\left[ {z - 2} \right]^2} = 4\]
- C \[{x^2} + {y^2} + {z^2} = 2\]
- D \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {y^2} + {\left[ {z - 1} \right]^2} = 4\]
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Mặt cầu đường kính \[AB\] có tâm là trung điểm của \[AB\] và có bán kính bằng \[\dfrac{{AB}}{2}\].
Lời giải chi tiết:
Gọi \[I\] là trung điểm của \[AB\] ta có \[I\left[ {2;2;2} \right]\].
Ta có : \[AB = \sqrt {{{\left[ {3 - 1} \right]}^2} + {{\left[ {2 - 2} \right]}^2} + {{\left[ {1 - 3} \right]}^2}} = \sqrt {4 + 4} = 2\sqrt 2 \].
Do đó mặt cầu đường kính \[AB\] có tâm \[I\left[ {2;2;2} \right]\] và bán kính \[R = \dfrac{{AB}}{2} = \sqrt 2 \].
Vậy phương trình mặt cầu là \[{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {\left[ {z - 2} \right]^2} = 2\].
Chọn A.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 46 :
Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm \[I\left[ 1;2;3 \right]\] đi qua điểm \[A\left[ 1;1;2 \right]\] có pt là:
- A \[{{\left[ x-1 \right]}^{2}}+{{\left[ y-1 \right]}^{2}}+{{\left[ z-2 \right]}^{2}}=2\]
- B \[{{\left[ x-1 \right]}^{2}}+{{\left[ y-2 \right]}^{2}}+{{\left[ z-3 \right]}^{2}}=2\]
- C \[{{\left[ x-1 \right]}^{2}}+{{\left[ y-2 \right]}^{2}}+{{\left[ z-3 \right]}^{2}}=\sqrt{2}\]
- D \[{{\left[ x-1 \right]}^{2}}+{{\left[ y-1 \right]}^{2}}+{{\left[ z-2 \right]}^{2}}=\sqrt{2}\]
Đáp án: B
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 47 :
Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng [P] : \[2x+3y+z-11=0\] và mặt cầu \[\left[ S \right]:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-2z-8=8\] tiếp xúc với nhau tại điểm \[H\left[ {{x}_{o}};{{y}_{o}};{{z}_{o}} \right]\]. Tính tổng \[T={{x}_{o}}+{{y}_{o}}+{{z}_{0}}\]
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Mặt phẳng [ P ] tiếp xúc với mặt cầu [ S ] tại H suy ra IH vuông góc với [ P ] với I là tâm mặt cầu [ S ]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{align} & \left[ S \right]:{{\left[ x-1 \right]}^{2}}+{{\left[ y+2 \right]}^{2}}+{{\left[ z-1 \right]}^{2}}=14 \\ & =>I\left[ 1;-2;1 \right] \\\end{align}\]
Suy ra phương trình đường thẳng IH: \[\left\{ \begin{align} & x=1+2t \\ & y=3t-2 \\ & z=1+t \\\end{align} \right.\]
Gọi H[ 1+2t ; 3t – 2 ; 1+t ] . Thay H vào ptmp [ P ] ta có : \[\]
\[\begin{align} & 2\left[ 2t+1 \right]+3\left[ 3t-2 \right]+t+1-11=0t=1 \\ & =>H\left[ 3;1;2 \right] \\\end{align}\]
Chọn đáp án C
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 48 :
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu tâm \[I\left[ { - 1;2;0} \right]\] và đi qua điểm \[A\left[ {2; - 2;0} \right]\] là
- A \[{\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {z^2} = 100\].
- B \[{\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {z^2} = 5\].
- C \[{\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {z^2} = 10\].
- D \[{\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {z^2} = 25\].
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Phương trình mặt cầu tâm \[I\left[ {a;b;c} \right]\] và có bán kính R là:
\[{\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {y - b} \right]^2} + {\left[ {z - c} \right]^2} = {R^2}\]
Lời giải chi tiết:
Bán kính mặt cầu \[R = IA = \sqrt {{{\left[ {2 - \left[ { - 1} \right]} \right]}^2} + {{\left[ { - 2 - 2} \right]}^2} + {{\left[ {0 - 0} \right]}^2}} = 5\]
Phương trình mặt cầu: \[{\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {z^2} = 25\].
Chọn: D
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 49 :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \[\left[ S \right]:{{[x+3]}^{2}}+{{y}^{2}}+{{[z-1]}^{2}}=10\]. Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng dưới đây cắt mặt cầu \[[S]\] theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3?
- A
\[\left[ {{P}_{1}} \right]:x+2y-2z+8=0\].
- B
\[\left[ {{P}_{2}} \right]:x+2y-2z-8=0\].
- C
\[\left[ {{P}_{3}} \right]:x+2y-2z-2=0\].
- D \[\left[ {{P}_{4}} \right]:x+2y-2z-4=0\]
Đáp án: A
Phương pháp giải:
\[{{d}^{2}}+{{r}^{2}}={{R}^{2}}\]
Trong đó, \[d\]: khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng [P],
\[r\]: bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu [S] và mặt phẳng [P],
\[R\]: bán kính hình cầu.
Lời giải chi tiết:
\[\left[ S \right]:{{[x+3]}^{2}}+{{y}^{2}}+{{[z-1]}^{2}}=10\] có tâm \[I[-3;0;1]\], bán kính \[R=\sqrt{10}\].
\[[S]\cap [P]\]là một đường tròn có bán kính \[r=3\]
Ta có: \[{{R}^{2}}={{d}^{2}}_{[I;[P]]}+{{r}^{2}}\Leftrightarrow 10={{d}^{2}}_{[I;[P]]}+{{3}^{2}}\Leftrightarrow d[I;[P]]=1\]
+] \[\left[ {{P}_{1}} \right]:x+2y-2z+8=0\] :
\[d[I;[{{P}_{1}}]]=\frac{\left| -3+2.0-2.1+8 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{[-2]}^{2}}}}=1\Rightarrow [{{P}_{1}}]\] : Thỏa mãn.
+] \[\left[ {{P}_{2}} \right]:x+2y-2z-8=0\]
\[d[I;[{{P}_{2}}]]=\frac{\left| -3+2.0-2.1-8 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{[-2]}^{2}}}}=\frac{13}{3}\ne 1\Rightarrow [{{P}_{2}}]\]: Không thỏa mãn.
+] \[\left[ {{P}_{3}} \right]:x+2y-2z-2=0\]
\[d[I;[{{P}_{3}}]]=\frac{\left| -3+2.0-2.1-2 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{[-2]}^{2}}}}=\frac{7}{3}\ne 1\Rightarrow [{{P}_{3}}]\]: Không thỏa mãn.
+] \[\left[ {{P}_{4}} \right]:x+2y-2z-4=0\]
\[d[I;[{{P}_{4}}]]=\frac{\left| -3+2.0-2.1-4 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{[-2]}^{2}}}}=3\ne 1\Rightarrow [{{P}_{4}}]\]: Không thỏa mãn.
Chọn: A
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 50 :
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu \[\left[ S \right]:\,\,{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {\left[ {z - 3} \right]^2} = 81\] tại điểm \[P\left[ { - 5; - 4;6} \right]\] là :
- A \[7x + 8y + 67 = 0\]
- B \[4x + 2y - 9z + 82 = 0\]
- C \[x - 4z + 29 = 0\]
- D \[2x + 2y - z + 24 = 0\]
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Gọi I là tâm mặt cầu \[\left[ S \right]\] ta có mặt phẳng tiếp xúc với \[\left[ S \right]\] tại P đi qua P và nhận \[\overrightarrow {IP} \] là 1 VTPT.
Lời giải chi tiết:
\[I\left[ {1;2;3} \right]\] là tâm của mặt cầu \[\left[ S \right] \Rightarrow \overrightarrow {IP} = \left[ { - 6; - 6;3} \right] = 3\left[ {2;2; - 1} \right] \Rightarrow \overrightarrow n \left[ {2;2; - 1} \right]\] là 1 VTPT của mặt phẳng đi qua P và tiếp xúc với \[\left[ S \right]\]. Do đó mặt phẳng cần tìm có phương trình :
\[2\left[ {x + 5} \right] + 2\left[ {y + 4} \right] - 1\left[ {z - 6} \right] = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y - z + 24 = 0\]
Chọn D.
Đáp án - Lời giảiXem thêm
Quảng cáo