A. Lý thuyết nguyên hàm
1. Khái niệm nguyên hàm
2. Các tính chất của nguyên hàm
3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Bảng nguyên hàm bao gồm những dạng sau:
– Công thức nguyên hàm của lượng giác
– Công thức nguyên hàm mở rộng
– Công thức nguyên hàm từng phần
– Công thức nguyên hàm và tích phân.
* Bảng công thức nguyên hàm cơ bản
Công thức nguyên hàm của hàm số sơ cấp |
Công thức nguyên hàm của hàm hợp |
|
∫0dx = C ∫dx = x + C ∫xadx =[xa+1/a+1]+C [a≠ -1] ∫[1/x]dx =ln|x|+C ∫exdx =ex+C ∫axdx =a/lna+ C [a>0, a≠1] ∫cosxdx = sinx + C ∫sinxdx = – cosx + C ∫1/[cos2x]dx = tanx + C ∫1/[sin2x]dx = – cotx + C |
∫0du = C ∫du= u +C ∫uadu =[ua+1/a+1]+ C ∫1/udu = ln|u|+ C ∫eudu =eu+C ∫audu=au/lna+ C ∫∫cosudu = sinu + C ∫∫sinudu = -cosu +C ∫1/[cos2u]du= tanu +C ∫1/[sin2u]du = – cotu +C |
4. Các phương pháp giải bài tập tìm nguyên hàm
Để giải bài toán tìm họ nguyên hàm của một hàm số y=f[x]. Đồng nghĩa với việc ta đi tìm một tích của hàm số đó. Để giảitíchphân bất định, ta sử dụng 1 trong 3phương pháp:
- Phương pháp phân tích.
- Phương pháp đổi biến số.
- Phương pháp tích phân từng phần.
Để có thể giải được các bài tập dạng này điều bạn cần quan tâm đó là f[x] có dạng như thế nào để có được các bước nghiên cứu một cách cụ thể phân tích chúng. Việc bạn cần làm là nghiên cứu và biến đổi để có thể sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tìm ra kết quả. Không chỉ có phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm đơn giản mà bạn còn có thể áp dụng một trong các cách nói trên.
4.1. Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản
Để hiểu hơn về việc áp dụng công thức trong bảng công thức nguyên hàm cơ bản bạn có thể tham khảo ví dụ sau đây.
4.2. Áp dụng công thứcbiến đổi nguyên hàm
Đối với phương pháp biến đổi của nguyên hàm thường gặp ta có một số công thức tổng quát trong bảng nguyên hàm đầy đủ cụ thể như sau:
Dựa vào những công thức trong bảng nguyên hàmnêu trên bạn có thể áp dụng được chúng dễ dàng vào nhiều bài toán khó hơn, phức tạp hơn.
4.3. Áp dụng công thứcnguyên hàm từng phần
Đây là phương pháp được sử dụng khi bài toán yêu cầu tính nguyên hàm của một tích.
Ví dụ 1:Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
Chú ý: Đối với phương pháp này bạn cần có thứ tự ưu tiên đặt u có trong phương pháp nguyên hàm từng phần. Cụ thể theo hướng Logarit – đa thức – hàm lượng giác – hàm mũ. Bạn cần chú ý đến cách phân tích theo hướng trên để có thể có các bước làm bài hiệu quả nhất.
4.4. Phương pháp nguyên hàm từng phần và phối hợp đổi biến số
Đối với phương pháp này bạn cần áp dụng đúng công thức thì mới có thể giải được bài tập một cách chi tiết và cho ra đúng đáp án của bài toán.
Ví dụ 2:Tính tích phân bất định
Ta tìm được sint, thay vào [*] ta tính được I.
4.5. Phương pháp dùng nguyên hàm phụ
Khi bạn bắt gặp những nguyên hàm rắc rối nhiều ẩn bạn nên sử dụng nguyên hàm phụ để giải bài toán một cách nhanh và chi tiết nhất. Đối với kiểu bài toán như thế này bạn cần áp dụng đúng công thức thì sẽ rất nhanh chóng và thuận lợi. Cụ thể như sau:
* Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn đến việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:
5. Các lỗi sai thường gặp khi giải toán liên quan đến bảng nguyên hàm
Đa số khi giải dạng đề này các bạn thường mắc phải các sai lầm như:
– Hiểu sai bản chất công thức
– Cẩu thả, dẫn đến tính sai nguyên hàm
– Không nắm vững định nghĩa về nguyên hàm, tích phân
– Đổi biến số nhưng quên đổi cận
– Đổi biến không tính vi phân
– Không nắm vững phương pháp nguyên hàm từng phần
B. Bài tập nguyên hàm
Dạng 1. Sử dụng bảng nguyên hàm để tính nguyên hàm
Ví dụ 1.1:Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
Lời giải:
| A.m = 3 | B.m = 0 | C.m = 1 | D.m = 2 |
Lời giải:
Chọn đáp án C.
Dạng 2. Tính nguyên hàm bằng phương pháp vi phân
Phương pháp:
Ví dụ 2.1:Tìm các nguyên hàm của các hàm số sau:
Lời giải:
Nguyên hàm là một khái niệm khá mới mẻ trong chương trình toán THPT, vì vậy hôm nay Kiến Guru xin chia sẻ đến các bạn Hướng dẫn giải bài tập toán đại 12 chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng. Bài viết sẽ kết hợp giải bài tập toán từ sách giáo khoa, đồng thời sẽ nêu những kiến thức cần ghi nhớ cũng như nhận xét định hướng lời giải, giúp các bạn vừa nhớ lại khái niệm vừa rèn luyện khả năng giải quyết bài tập của bản thân. Hy vọng bài viết sẽ là một tài liệu ôn tập ngắn gọn, hữu dụng và thân thiện với bạn đọc. Mời các bạn cùng tham khảo:
I. Giải bài tập Toán đại 12: Bài 1 trang 126
a. Hãy nêu định nghĩa nguyên hàm của hàm số cho trước f[x] trên một khoảng.
b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần là gì? Đưa ra ví dụ minh họa cho cách tính đã nêu.
Hướng dẫn giải:
a. Xét hàm số f[x] xác định trên tập xác định A.
Như vậy, hàm số F[x] gọi là nguyên hàm của hàm số f[x] trên A khi F[x] thỏa mãn: F’[x]= f[x] ∀ x ∈ A.
Cách tính nguyên hàm từng phần:
Cho hai hàm số u = u[x] và v = v[x] có đạo hàm liên tục trên A, khi đó:
∫u[x].v’[x]dx = u[x].v[x] – ∫v[x].u’[x]dx
Ta có thể viết gọn lại: ∫udv = uv – ∫vdv.
Ví dụ minh họa:
Tính nguyên hàm sau:
Ta đặt:
Từ đó ta có:
Kiến thức cần nhớ:
Nguyên hàm của một hàm số f[x] xác định trên tập A là một hàm số F[x] thỏa: F’[x]=f[x] với mọi x thuộc tập A. Có vô số hàm thỏa mãn đều kiện trên, tập hợp chúng sẽ thành họ nguyên hàm của f[x].
Khi sử dụng công thức nguyên hàm từng phần, nên lưu ý lựa chọn hàm u, v. Một số dạng thường gặp:
II. Giải bài tập Toán đại 12: Bài 2 trang 126
a. Nêu định nghĩa tích phân hàm số f[x] trên đoạn [a;b]
b. Tính chất của tích phân là gì? Ví dụ cụ thể.
Hướng dẫn giải:
a. Xét hàm số y = f[x] liên tục trên [a; b], gọi F[x] là nguyên hàm của f[x] trên [a;b]
Khi đó, tích phân cần tìm là hiệu F[b]-F[a], kí hiệu:
b. Tính chất của tích phân:
Kiến thức bổ sung:
+ Để tính một số tích phân hàm hợp, ta cần đổi biến, dưới đây là một số cách đổi biến thông dụng:
+ Nguyên tắc sử dụng đặt u, v khi dùng công thức tính phân từng phần, ưu tiên thứ tự sau khi chọn u: Logarit -> Đa thức -> Lượng giác = Mũ.
III. Giải bài tập Toán đại 12: Bài 3 trang 126
Tìm nguyên hàm của các hàm số đã cho dưới đây:
a. f[x]=[x-1][1-2x][1-3x]
b. f[x]= sin[4x].cos2[2x]
c.
d. f[x] = [ex – 1]3
Hướng dẫn giải:
a. Ta có:
[x-1][1-2x][1-3x] = 6x3 – 11x2 + 6x – 1
Suy ra
b. Ta có:
Suy ra:
c. Ta có:
Suy ra:
d. Đối với bài này, bạn đọc có thể theo cách giải thông thường là khai triển hằng đẳng thức bậc 3 rồi áp dụng tính nguyên hàm cho từng hàm nhỏ, tuy nhiên Kiến xin giới thiệu cách đặt ẩn phụ để giải tìm nguyên hàm.
Đặt t=ex
Suy ra: dt=exdx=tdx, vì vậy
Ta sẽ có:
Với C’=C-1
Kiến thức cần nhớ:
Một số nguyên hàm thông dụng cần nhớ:
IV. Giải bài tập Toán đại 12: Bài 4 trang 126
Tính một số nguyên hàm sau:
Hướng dẫn giải:
Kiến thức bổ sung:
Một số công thức nguyên hàm thường gặp:
V. Giải bài tập toán đại 12 nâng cao.
Đề THPT Chuyên KHTN lần 4:
Cho các số nguyên a, b thỏa mãn:
Tính tổng P=a+b?
Hướng dẫn giải:
Bài này là sự kết hợp tính tích phân của 1 hàm là tích của hai hàm khác dạng, kiểu [đa thức]x[hàm logarit]. Vì vậy, cách giải quyết thông thường là sử dụng tích phân từng phần.
Ta có:
Đề thi thử Sở GD Bình Thuận:
Cho F[x] là một nguyên hàm của f[x]. Biết rằng F[3]=3, tích phân: . Hãy tính:
Hướng dẫn giải:
Đây là một dạng tính tích phân dạng hàm ẩn, tích phân cần tính lại là dạng 1 hàm số cụ thể nhân với 1 hàm chưa biết, như vậy cách giải quyết thường gặp sẽ là đặt ẩn phụ cho hàm, đồng thời sử dụng công thức tính tích phân từng phần.
Ở đây các bạn sẽ đặt: t=x+1, khi đó:
Lại có:
Kiến thức bổ sung:
+ Như vậy ở đây, một cách để nhận biết khi nào sẽ sử dụng tích phân từng phần là bài toán yêu cầu tính tích phân của hàm có dạng f[x].g[x], trong đó f[x] và g[x] là những hàm khác dạng nhau, có thể là hàm logarit, hàm đa thức, hàm mũ hoặc hàm lượng giác. Một số kiểu đặt đã được đề cập ở mục phía trước, bạn có thể tham khảo lại ở phía trên.
+ Một số công thức tính nguyên hàm của hàm vô tỷ:
Trên đây là những tóm tắt mà Kiến muốn chia sẻ đến các bạn. Hy vọng qua phần hướng dẫn giải bài tập toán đại 12 chương nguyên hàm và ứng dụng, các bạn có thể tự tin ôn tập tại nhà môt cách hiệu quả nhất. Ngoài việc làm những ví dụ cơ bản, các bạn nên tham khảo thêm nhiều đề thi để có cái nhìn thật tổng quan và tập làm quen với những dạng đề trắc nghiệm, phục vụ cho kì thi THPT Quốc Gia sắp tới. Bạn đọc cũng có thể tham khảo thêm những bài viết khác trên trang của Kiến để trang bị cho mình những kiến thức bổ ích khác. Chúc các bạn may mắn nhé.