Đại Số 10 – Chương 3 bài 1: Đại cương về phương trình
Đại Số 10 – Chương 3 bài 1: Đại cương về phương trình
Chuyên đề Đại cương về phương trình 10.Hệ thống lý thuyết đầy đủ và chi tiết, bao quát tất cả các dạng bài xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT, tóm tắt công thức giải nhanh dễ nhớ, dễ vận dụng – Bài tập luyện tập có hướng dẫn giải, bài tập trắc nghiệm có đáp án.
Post navigation
⟵62 bài tập hình học 9 luyện thi vào 10 – Luyện thi vào10
Đại Số 10 – Chương 3 bài 2: Phương trình bậc nhất và phương trình bâc hai⟶
Với Các dạng bài tập Đại cương về hàm số chọn lọc có lời giải Toán lớp 10 tổng hợp các dạng bài tập, bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Đại cương về hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.
Cách tìm tập xác định của hàm số
Tập xác định của hàm số y = f[x] là tập các giá trị của x sao cho biểu thức f[x] có nghĩa
Chú ý: Nếu P[x] là một đa thức thì:
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau
Hướng dẫn:
a] ĐKXĐ: x2 + 3x - 4 ≠ 0
Suy ra tập xác định của hàm số là D = R\{1; -4}.
b] ĐKXĐ:
c] ĐKXĐ: x3 + x2 - 5x - 2 = 0
Suy ra tập xác định của hàm số là
d] ĐKXĐ: [x2 - 1]2 - 2x2 ≠ 0 ⇔ [x2 - √2.x - 1][x2 + √2.x - 1] ≠ 0
Suy ra tập xác định của hàm số là:
Ví dụ 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
Hướng dẫn:
a] ĐKXĐ:
Suy ra tập xác định của hàm số là D = [1/2; +∞]\{3}.
b] ĐKXĐ:
Suy ra tập xác định của hàm số là D = [-2; +∞]\{0;2}.
c] ĐKXĐ:
Suy ra tập xác định của hàm số là D = [-5/3; 5/3]\{-1}
d] ĐKXĐ: x2 - 16 > 0 ⇔ |x| > 4
Suy ra tập xác định của hàm số là D = [-∞; -4] ∪ [4; +∞].
Ví dụ 3: Cho hàm số:
a] Tìm tập xác định của hàm số theo tham số m.
b] Tìm m để hàm số xác định trên [0; 1]
Hướng dẫn:
a] ĐKXĐ:
Suy ra tập xác định của hàm số là D = [m-2; +∞]\{m-1}.
b] Hàm số xác định trên [0; 1] ⇔ [0;1] ⊂ [m - 2; m - 1] ∪ [m - 1; +∞]
Vậy m ∈ [-∞; 1] ∪ {2} là giá trị cần tìm.
Cách xét tính chẵn lẻ của hàm số
* Sử dụng định nghĩa
Hàm số y = f[x] xác định trên D
+ Hàm số chẵn
+ Hàm số lẻ
Chú ý: Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ
Đồ thị hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng
Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
* Quy trình xét hàm số chẵn, lẻ.
B1: Tìm tập xác định của hàm số.
B2: Kiểm tra
Nếu ∀ x ∈ D ⇒ -x ∈ D Chuyển qua bước ba
Nếu ∃ x0 ∈ D ⇒ -x0 ∉ D kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.
B3: xác định f[-x] và so sánh với f[x].
Nếu bằng nhau thì kết luận hàm số là chẵn
Nếu đối nhau thì kết luận hàm số là lẻ
Nếu tồn tại một giá trị ∃ x0 ∈ D mà f[-x0 ] ≠ ± f[x0] kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.
Ví dụ 1: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
Hướng dẫn:
a] f[x] = 3x3 + 2∛x
TXĐ: D = R.
Với mọi x ∈ D, ta có -x ∈ D
f[-x] = 3.[-x]3 + 2∛[-x] = -[3x3 + 2∛x] = -f[x]
Do đó f[x] = 3x3 + 2∛x là hàm số lẻ
b]
TXĐ: D = R.
Với mọi x ∈ D, ta có -x ∈ D
Do đó là hàm số chẵn
c]
ĐKXĐ:
Suy ra TXĐ: D = [-5;5]
Với mọi x ∈ [-5;5] ta có -x ∈ [-5;5]
Do đólà hàm số chẵn
d]
ĐKXĐ:
Suy ra TXĐ: D = [-2; 2]
Ta có x0 = -2 ∈ D nhưng -x0 = 2 ∉ D
Vậy hàm sốkhông chẵn và không lẻ.
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số sau là hàm số chẵn.
Hướng dẫn:
Giả sử hàm số chẵn suy ra f[-x] = f[x] với mọi x thỏa mãn điều kiện [*]
với mọi x thỏa mãn [*]
⇒ 2[2m2 - 2] x = 0 với mọi x thỏa mãn [*]
⇔ 2m2 - 2 = 0 ⇔ m = ± 1
+ Với m = 1 ta có hàm số là
ĐKXĐ : √[x2+1] ≠ 1 ⇔ x ≠ 0
Suy ra TXĐ: D = R\{0}
Dễ thấy với mọi x ∈ R\{0} thì -x ∈ R\{0} và f[-x] = f[x]
Do đólà hàm số chẵn.
+ Với m = -1 ta có hàm số là
TXĐ: D = R
Dễ thấy với mọi x ∈ R thì -x ∈ R và f[-x] = f[x]
Do đólà hàm số chẵn.
Vậy m = ± 1 là giá trị cần tìm.
Cách xét tính đơn điệu [đồng biến, nghịch biến] của hàm số
C1: Cho hàm số y = f[x] xác định trên K. Lấy x1; x2 ∈ K;x1 < x2, đặt T = f[x1 ]-f[x2 ]
+ Hàm số đồng biến trên K ⇔ T > 0.
+ Hàm số nghịch biến trên K ⇔ T < 0.
C2: Cho hàm số y = f[x] xác định trên K. Lấy x1; x2 ∈ K;x1 ≠ x2, đặt
+ Hàm số đồng biến trên K ⇔ T > 0.
+ Hàm số nghịch biến trên K ⇔ T < 0.
Ví dụ 1: Xét sự biến thiên của hàm số sau trên khoảng [1; + ∞]
a] y = 3/[x-1]
b] y = x + 1/x
Hướng dẫn:
a] Với mọi x1; x2 ∈ [1; + ∞]; x1 ≠ x2 ta có:
Vì x1 > 1; x2 > 1 nên
Do đó hàm số y = 3/[x-1] nghịch biến trên khoảng [1; + ∞].
b] Với mọi x1; x2 ∈ [1; + ∞]; x1 ≠ x2 ta có:
Vì x1 > 1; x2 > 1
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f[x] = x2 - 4
a] Xét chiều biến thiên cuả hàm số trên [- ∞;0] và trên [0;+ ∞]
b] Lập bảng biến thiên của hàm số trên [-1;3] từ đó xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên[-1;3].
Hướng dẫn:
TXĐ: D = R.
a] ∀ x1; x2 ∈ R; x1 < x2 ⇒ x2 - x1 > 0
Ta có T = f[x2 ] - f[x1 ]=[x22 - 4] - [x12 - 4] = [x2 - x1 ][x2 + x1 ]
Nếu x1; x2 ∈ [- ∞;0] thì T < 0. Vậy hàm số y=f[x] nghịch biến trên [- ∞;0].
Nếu x1; x2 ∈ [0; + ∞] thì T > 0. Vậy hàm số y = f[x] đồng biến trên [0; + ∞].
b] Bảng biến thiên của hàm số y = f[x] = x2 - 4 trên [-1; 3]
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Giá trị lớn nhất của hàm số trên [-1; 3] là 5, đạt được khi x = 3.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [-1; 3] là – 4, đạt được khi x = 0.
Ví dụ 3: Xét sự biến thiên của hàm số
Áp dụng tìm số nghiệm của các phương trình sau:
Hướng dẫn:
ĐKXĐ:
Suy ra TXĐ: D = [1; + ∞]
Với mọi x1; x2 ∈ [1; + ∞], x1 ≠ x2, ta có:
Nên hàm số
a] Vì hàm số đã cho đồng biến trên [1; + ∞] nên
Nếu x > 1 ⇒ f[x] > f[1] hay
Suy ra phương trình
Với x = 1 dễ thấy nó là nghiệm của phương trình đã cho
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
b]
ĐKXĐ: x ≥ 1
Đặt x2 + 1 = t, t ≥ 1 ⇒ x2 = t - 1
Do x ≥ 1 nên x = √[t-1]. Khi đó phương trình trở thành:
Nếu x > t ⇒ f[x] > f[t] hay
Suy ra phương trình đã cho không có nghiệm thỏa mãn x > t.
Nếu x < t ⇒ f[x]< f[t] hay
Suy ra phương trình đã cho không có nghiệm thỏa mãn x < t.
Vậy f[x] = f[t] ⇔ x = t hay x2 + 1 = x ⇔ x2 - x + 1 = 0 [vô nghiệm]
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Nhận xét:
Hàm số y = f[x] đồng biến [hoặc nghịch biến] trên toàn bộ tập xác định thì phương trình f[x]=0 có tối đa một nghiệm.
Nếu hàm số y = f[x] đồng biến [nghịch biến] trên D thì f[x] > f[y] ⇔ x > y [x < y] và f[x] = f[y] ⇔ x = y ∀ x,y ∈ D. Tính chất này được sử dụng nhiều trong các bài toán đại số như giải phương trình , bất phương trình , hệ phương trình và các bài toán cực trị.