Hướng dẫn Cách giải bất phương trình bậc 2 chứa tham số hay nhất, chi tiết, bám sát nội dung SGK Toán lớp 10, giúp các em ôn tập tốt hơn.
1. Bất phương trình bậc hai
- Bất phương trình bậc hai ẩnxlà bất phương trình dạng ax2 + bx + c < 0
[hoặc ax2 + bx + c≤ 0, ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c≥ 0], trong đóa,b,clà những số thực đã cho,a≠0.
* Ví dụ:x2– 2 >0; 2x2+3x – 5 √2 và -2 < m < -√2
Vậy với |m| 0; ax2 + bx + c ≥ 0], trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a≠0.
* Ví dụ: x2 - 2 >0; 2x2 +3x - 5 0 ⇒ f[x] > 0 với ∀ x ∈ R.
b] -2x2 + 3x + 5
- Xét tam thức f[x] = –2x2 + 3x + 5
- Ta có: Δ = b2 - 4ac = 9 + 40 = 49 > 0.
- Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = –1; x2 = 5/2, hệ số a = –2 < 0
- Ta có bảng xét dấu:
f[x] > 0 khi x ∈ [–1; 5/2]- Từ bảng xét dấu ta có:
f[x] = 0 khi x = –1 ; x = 5/2
f[x] < 0 khi x ∈ [–∞; –1] ∪ [5/2; +∞]
c] x2 + 12x + 36
- Xét tam thức f[x] = x2 + 12x + 36
- Ta có: Δ = b2 - 4ac = 144 - 144 = 0.
- Tam thức có nghiệm kép x = –6, hệ số a = 1 > 0.
- Ta có bảng xét dấu:
- Từ bảng xét dấu ta có:
f[x] > 0 với ∀x ≠ –6
f[x] = 0 khi x = –6
d] [2x - 3][x + 5]
- Xét tam thức f[x] = 2x2 + 7x – 15
- Ta có: Δ = b2 - 4ac = 49 + 120 = 169 > 0.
- Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = 3/2; x2 = –5, hệ số a = 2 > 0.
- Ta có bảng xét dấu:
- Từ bảng xét dấu ta có:
f[x] > 0 khi x ∈ [–∞; –5] ∪ [3/2; +∞]
f[x] = 0 khi x = –5 ; x = 3/2
f[x] < 0 khi x ∈ [–5; 3/2]
* Ví dụ 2 [Bài 2 trang 105 SGK Đại Số 10]: Lập bảng xét dấu của biểu thức
a] f[x] = [3x2 - 10x + 3][4x - 5]
b] f[x] = [3x2 - 4x][2x2 - x - 1]
c] f[x] = [4x2 – 1][–8x2 + x – 3][2x + 9]
d] f[x] = [[3x2 - x][3 - x2]]/[4x2 + x - 3]
° Lời giải ví dụ 2 [Bài 2 trang 105 SGK Đại Số 10]:
a] f[x] = [3x2 - 10x + 3][4x - 5]
- Tam thức 3x2 – 10x + 3 có hai nghiệm x = 1/3 và x = 3, hệ số a = 3 > 0 nên mang dấu + nếu x < 1/3 hoặc x > 3 và mang dấu – nếu 1/3 < x < 3.
- Nhị thức 4x – 5 có nghiệm x = 5/4.
- Ta có bảng xét dấu:
- Từ bảng xét dấu ta có:
f[x] > 0 khi x ∈ [1/3; 5/4] ∪ x ∈ [3; +∞]
f[x] = 0 khi x ∈ S = {1/3; 5/4; 3}
f[x] < 0 khi x ∈ [–∞; 1/3] ∪ [5/4; 3]
b] f[x] = [3x2 - 4x][2x2 - x - 1]
- Tam thức 3x2 – 4x có hai nghiệm x = 0 và x = 4/3, hệ số a = 3 > 0.
⇒ 3x2 – 4x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 4/3 và mang dấu – khi 0 < x < 4/3.
+ Tam thức 2x2 – x – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1, hệ số a = 2 > 0
⇒ 2x2 – x – 1 mang dấu + khi x < –1/2 hoặc x > 1 và mang dấu – khi –1/2 < x < 1.
- Ta có bảng xét dấu:
- Từ bảng xét dấu ta có:
f[x] > 0 ⇔ x ∈ [–∞; –1/2] ∪ [0; 1] ∪ [4/3; +∞]
f[x] = 0 ⇔ x ∈ S = {–1/2; 0; 1; 4/3}
f[x] < 0 ⇔ x ∈ [–1/2; 0] ∪ [1; 4/3]
c] f[x] = [4x2 – 1][–8x2 + x – 3][2x + 9]
- Tam thức 4x2 – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1/2, hệ số a = 4 > 0
⇒ 4x2 – 1 mang dấu + nếu x < –1/2 hoặc x > 1/2 và mang dấu – nếu –1/2 < x < 1/2
- Tam thức –8x2 + x – 3 có Δ = –47 < 0, hệ số a = –8 < 0 nên luôn luôn âm.
- Nhị thức 2x + 9 có nghiệm x = –9/2.
- Ta có bảng xét dấu:
- Từ bảng xét dấu ta có:
f[x] > 0 khi x ∈ [–∞; –9/2] ∪ [–1/2; 1/2]
f[x] = 0 khi x ∈ S = {–9/2; –1/2; 1/2}
f[x] < 0 khi x ∈ [–9/2; –1/2] ∪ [1/2; +∞]
d] f[x] = [[3x2 - x][3 - x2]]/[4x2 + x - 3]
- Tam thức 3x2 – x có hai nghiệm x = 0 và x = 1/3, hệ số a = 3 > 0.
⇒ 3x2 – x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 1/3 và mang dấu – khi 0 < x < 1/3.
- Tam thức 3 – x2 có hai nghiệm x = √3 và x = –√3, hệ số a = –1 < 0
⇒ 3 – x2 mang dấu – khi x < –√3 hoặc x > √3 và mang dấu + khi –√3 < x < √3.
- Tam thức 4x2 + x – 3 có hai nghiệm x = –1 và x = 3/4, hệ số a = 4 > 0.
⇒ 4x2 + x – 3 mang dấu + khi x < –1 hoặc x > 3/4 và mang dấu – khi –1 < x < 3/4.
- Ta có bảng xét dấu:
- Từ bảng xét dấu ta có:
f[x] > 0 ⇔ x ∈ [–√3; –1] ∪ [0; 1/3] ∪ [3/4; √3]
f[x] = 0 ⇔ x ∈ S = {±√3; 0; 1/3}
f[x] < 0 ⇔ x ∈ [–∞; –√3] ∪ [–1; 0] ∪ [1/3; 3/4] ∪ [√3; +∞]
f[x] không xác định khi x = -1 và x = 3/4.
° Dạng 2: Giải các bất phương trình bậc 2 một ẩn
* Ví dụ 1 [Bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10]: Giải các bất phương trình sau
a] 4x2 - x + 1 < 0
b] -3x2 + x + 4 ≥ 0
c]
d] x2 - x - 6 ≤ 0
° Lời giải ví dụ 1 [bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10]:
a] 4x2 - x + 1 < 0
- Xét tam thức f[x] = 4x2 - x + 1
- Ta có: Δ = -15 < 0; a = 4 > 0 nên f[x] > 0 ∀x ∈ R
⇒ Bất phương trình đã cho vô nghiệm.
b] -3x2 + x + 4 ≥ 0
- Xét tam thức f[x] = -3x2 + x + 4
- Ta có : Δ = 1 + 48 = 49 > 0 có hai nghiệm x = -1 và x = 4/3, hệ số a = -3 < 0.
⇒ f[x] ≥ 0 khi -1 ≤ x ≤ 4/3. [Trong trái dấu a, ngoài cùng dấu với a]
⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là: S = [-1; 4/3]
c]
- Điều kiện xác định: x2 - 4 ≠ 0 và 3x2 + x - 4 ≠ 0
⇔ x ≠ ±2 và x ≠ 1; x ≠ 4/3.
- Chuyển vế và quy đồng mẫu chung ta được:
[*] ⇔
- Nhị thức x + 8 có nghiệm x = -8
- Tam thức x2 – 4 có hai nghiệm x = 2 và x = -2, hệ số a = 1 > 0
⇒ x2 – 4 mang dấu + khi x < -2 hoặc x > 2 và mang dấu – khi -2 < x < 2.
- Tam thức 3x2 + x – 4 có hai nghiệm x = 1 và x = -4/3, hệ số a = 3 > 0.
⇒ 3x2 + x – 4 mang dấu + khi x < -4/3 hoặc x > 1 mang dấu - khi -4/3 < x < 1.
- Ta có bảng xét dấu như sau:
- Từ bảng xét dấu ta có:
[*] < 0 ⇔ x ∈ [–∞; –8] ∪ [-2; -4/3] ∪ [1; 2]
d] x2 - x - 6 ≤ 0
- Xét tam thức f[x] = x2 - x - 6 có hai nghiệm x = -2 và x = 3, hệ số a = 1 > 0
⇒ f[x] ≤ 0 khi -2 ≤ x ≤ 3.
⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là: S = [-2; 3].
° Dạng 3: Xác định tham số m thỏa điều kiện phương trình
* Ví dụ 1 [Bài 4 trang 105 SGK Đại Số 10]: Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau vô nghiệm
a] [m - 2]x2 + 2[2m - 3]x + 5m - 6 = 0
b] [3 - m]x2 - 2[m + 3]x + m + 2 = 0
° Lời giải ví dụ 1 [bài 4 trang 105 SGK Đại Số 10]:
a] [m - 2]x2 + 2[2m - 3]x + 5m - 6 = 0 [*]
• Nếu m - 2 = 0 ⇔ m = 2, khi đó phương trình [*] trở thành:
2x + 4 = 0 ⇔ x = -2 hay phương trình [*] có một nghiệm
⇒ m = 2 không phải là giá trị cần tìm.
• Nếu m - 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 ta có:
Δ' = b'2 - ac = [2m - 3]2 - [m - 2][5m - 6]
= 4m2 - 12m + 9 - 5m2 + 6m + 10m - 12
= -m2 + 4m - 3 = [-m + 3][m - 1]
- Ta thấy [*] vô nghiệm ⇔ Δ' < 0 ⇔ [-m + 3][m - 1] < 0 ⇔ m ∈ [-∞; 1] ∪ [3; +∞]
- Vậy với m ∈ [-∞; 1] ∪ [3; +∞] thì phương trình vô nghiệm.
b] [3 - m]x2 - 2[m + 3]x + m + 2 = 0 [*]
• Nếu 3 - m = 0 ⇔ m = 3 khi đó [*] trở thành -6x + 5 = 0 ⇔ x = 5/6
⇒ m = 3 không phải là giá trị cần tìm.
• Nếu 3 - m ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 ta có:
Δ' = b' - ac = [m + 3]2 - [3 - m][m + 2]
= m2 + 6m + 9 - 3m - 6 + m2 + 2m
= 2m2 + 5m + 3 = [m + 1][2m + 3]
- Ta thấy [*] vô nghiệm ⇔ Δ' < 0 ⇔ [m + 1][2m + 3] < 0 ⇔ m ∈ [-3/2; -1]
- Vậy với m ∈ [-3/2; -1] thì phương trình vô nghiệm.
Hy vọng với bài viết Bài tập về xét dấu của Tam thức bậc 2, Bất phương trình bậc 2 và lời giải ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để hayhochoi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.