Phương pháp chuẩn hóa trong chứng minh bất đẳng thức
|
B GIÁO DC VÀ ĐÀO TOĐI HC ĐÀ NNG TRN ÁNH NGC PHƯƠNG PHÁP CHUN HOÁVÀ PHƯƠNG PHÁP THUN NHTTRONG CHNG MINH BT ĐNG THC Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cpMã s : 60.46.40TÓM TT LUN VĂN THC SĨ KHOA HC Đà Nng − Năm 2011 Công trình đưc hoàn thành ti ĐI HC ĐÀ NNG Ngưi hưng dn khoa hc: TS. Cao Văn NuôiPhn bin 1: PGS.TSKH Trn Quc ChinPhn bin 2: GS.TSKH Nguyn Văn MuLun văn s đưc bo v ti Hi đng chm Lun văn tt nghip thc sĩ Khoahc hp ti Đi hc Đà Nng vào ngày 29 tháng 5 năm 2011.Có th tìm hiu lun văn ti: − Trung tâm Thông tin − Hc liu, Đi hc Đà Nng − Thư vin trưng Đi hc sư phm, Đi hc Đà Nng 1 M đu 1. LÝ DO CHN Đ TÀI Trong chương trình toán hc ph thông thì bt đng thc là mt ni dung khócho c ngưi dy ln ngưi hc. Mc khác mt phn ln các bt đng thc là thunnht nên vic nghiên cu các phương pháp chng minh bt đng thc thun nhtvà phương pháp bin mt bt đng thc không thun nht, có điu kin v dngthun nht và sau đó chng minh nó là nghiên cu, gii quyt mt lp rng các bàitoán bt đng thc. Vi mong mun s dng ngun kin thc cơ s và sơ cp đ giiquyt đưc lp bài toán bt đng thc phc v thit thc cho vic dy và hc chươngtrình ph thông, bi dưng hc sinh gii, tôi chn đ tài "Phương pháp chun hoávà phương pháp thun nht trong chng minh bt đng thc". 2. MC ĐÍCH NGHIÊN CU Mc đích ca đ tài này là trình bày có h thng t cơ s lý thuyt v hàm sthun nht đn bt đng thc thun nht. Sau đó trình bày mt s phương phápchng minh bt đng thc thun nht; phương pháp chuyn mt bt đng thckhông thun nht, có điu kin v dng thun nht và chng minh nó. Ngoài ra vndng lý thuyt đ sáng to mt s bt đng thc mi. 3. ĐI TƯNG VÀ PHM VI NGHIÊN CUĐi tưng nghiên cu Nghiên cu các bt đng thc thun nht, bt đng thc thun nht đi xng,bt đng thc AM-GM,bt đng thc Cauchy-Schwarz bt đng thc Schur, btđng thc Muirhead và các ng dng ca chúng. Phm vi nghiên cu Nghiên cu lp bài toán bt đng thc đi s trong chương trình toán ph thông,trong các kỳ thi hc sinh gii quc gia và quc t. 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CU Phương pháp nghiên cu tư liu, phương pháp thc nghim trưng ph thôngvà phương pháp tho lun trao đi qua bn bè, đng nghip. 5. Ý NGHĨA KHOA HC VÀ THC TIN To đưc mt tài liu v bt đng thc đ tham kho khi nghiên cu, ging dy New Page 1 B Ấ T Đ Ẳ NG TH Ứ C THU Ầ N NH Ấ T 1) L ờ i nói đ ầ u : Đ ạ i đa s ố các b ấ t đ ẳ ng th ứ c c ổ đi ể n nh ư : , , ... đ ề u là nh ữ ng b ấ t đ ẳ ng th ứ c thu ầ n nh ấ t . Hi ể n nhiên nó không ph ả i là m ộ t ng ẫ u nhiên , xét v ề m ặ t toán h ọ c ta luôn th ấ y có s ự Logich c ủ a nó v ì th ự c t ế nh ữ ng cái gì cùng b ậ c thì ta m ớ i có th ể so sách m ộ t cách toàn c ụ c đ ư ợ c .
ể đánh giá nó thu ầ n nh ấ t: Cho hàm s ố c ủ a các bi ế n đư ợ c g ọ i là thu ầ n nh ấ t b ậ c n ế u v ớ i m ọ i s ố th ự c ta có . lúc đó V ậ y b ấ t đ ẳ ng th ứ c trên là thu ầ n nh ấ t b ậ c . Không ph ả i bao gi ờ ta c ũ ng g ặ p m ộ t b ấ t đ ẳ ng th ứ c thu ầ n nh ấ t . Bât đ ẳ ng th ứ c hay th ì không thu ầ n nh ấ t .
ứ ng minh : 3.1 Ph ương pháp d ồ n bi ế n . Phương pháp n ầ y là làm gi ả m s ố bi ế n trong m ộ t b ấ t đ ẳ ng th ứ c , t ừ đó s ẻ làm đơn gi ả n hóa các v ầ n đ ề . Đ ể ch ứ ng minh b ấ t đ ẳ ng th ứ c . Ta đi ch ứ ng minh . hay . Ti ế p t ụ c ta c ầ n ch ứ ng minh Ví d ụ 1 cho ba s ố dương ch ứ ng minh r ằ ng: bài làm. D ễ th ấ y b ấ t đ ẳ ng th ứ c trên là thu ầ n nh ấ t . Page 1 New Page 1 do đó ta c ầ n ch ứ ng minh . thât v ậ y đ ặ t ta có . đúng , v ậ y b ấ t đ ẳ ng th ứ c đ ầ u đúng . 3.2 Phương pháp chu ẩ n hóa . D ạ ng thư ờ ng g ặ p c ủ a b ấ t đ ẳ ng th ứ c thu ầ n nh ấ t là. trong đó là hai hàm thu ầ n nh ấ t d ẫ n đ ế n chuy ể n v ề đư ợ c th ỏ a m ãn chu ẩ n hóa m ộ t cách thích h ợ p , đ ể l àm đ ơn gi ả n b ấ t đ ẳ ng th ứ c c ầ n ch ứ ng minh . Ví d ụ 2 cho là nh ữ ng s ố th ự c : bài làm. Nh ậ n xét do đó b ấ t đ ẳ ng th ứ c trên là thu ầ n nh ấ t v ớ i b ậ c . N ế u . b ấ t đ ẳ ng th ứ c hi ể n nhiên đúng , không m ấ t tính tông quát c ủ a bài toán , gi ả i s ử (do b ấ t đ ẳ ng th ứ c trên là thu ầ n nh ấ t nên ta có th ể chu ẩ n hóa) lúc đó bài toán c ầ n ch ứ ng minh . v ớ i không m ấ t tính t ổ ng quát , gi ả s ử .Áp d ụ ng Bunhiacopxki ta có . mà do đó D ấ u b ằ ng x ả y ra khi : hay Ví d ụ 3 cho ba s ố dương ch ứ ng minh r ằ ng: bài làm. Hi ể n nhiên b ấ t đ ẳ ng th ứ c trên là thu ầ n nh ấ t , do đó ta có th ể chu ẩ n hóa b ằ ng cách không làm m ấ t tính t ổ ng quát gi ả s ử Page 2 New Page 1 . Xét hàm s ố . v ớ do đó hàm s ố l õm, do đó theo ta có . 3.3 Ph ương pháp tr ọ ng s ố . Phương pháp n ầ y đư ợ c chú ý t ừ đi ề u ki ệ n x ả y ra d ấ u b ằ ng . B ằ ng cách ch ọ n tr ọ ng s ố thích h ợ p ( không c òn ph ả i n ằ m trong b ấ t đ ẳ ng th ứ c thu ầ n nh ấ
ụ 4 . Ch ứ ng minh r ằ ng th ì ta có bài làm. * N ế u ta áp d ụ ng m ộ t cách máy móc thì ta có. . Đây không ph ả i m ộ t b ấ t đ ẳ ng th ứ c m à chính ta k ỳ v ọ ng nó x ả y ra . Đ ể gi ả i quy ế t b ài toàn n ầ y , ta đ ưa vào hai h ệ s ố dương đ ể đi ề u ch ỉ nh . đ ể theo đúng th ì v ế ph ả i không ph ụ thu ộ c thì . Th ế vào ta đ ư ợ c
ấ t đ ẳ ng th ứ c thu ầ n nh ấ t & đ ố i x ứ ng: Ngoài các phương pháp gi ớ i thi ệ u trên ta c òn s ử d ụ ng ph ương pháp khai tri ể n tr ứ c ti ế p , dùng tương đương, và dùng đ ị nh l ý nhóm các s ố h ạ ng . Ph ương pháp n ầ y không th ậ t thông minh , nhưng đôi khi v ẫ n t ỏ ra khá hi ệ u qu ả .Khi s ử d ụ ng phương pháp n ầ y ta dùng các kí hi ệ u quy ư ớ c qu ố c t ế , đ ể đơn gi ả n cách vi ế t : . Trong đó tr ả i qua hoán v ị c ủ a Page 3 |
