Table of Contents
- I. Định nghĩa tam thức bậc 2
- II. Định lý tam thức bậc 2
- a. Định lý thuận về dấu của tam thức bậc hai
- b. Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai
- III. Một số bài toán áp dụng dấu của tam thức bậc hai
I. Định nghĩa tam thức bậc 2
Tam thức bậc hai [đối với x] là biểu thức dạng trong đó a, b, c là những số cho trước với a khác 0
Nghiệm của phương trình = 0 được gọi là nghiệm của tam thức bậc 2.
f [x] =
với [biệt thức của tam thức bậc hai f[x] =
và [biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai f[x] = .
Ví dụ: Hãy cho biết có bao nhiêu tam thức bậc hai
- f [x] =
- f [x] =
- f [x] =
- f [x] =
Đáp án: 3 tam thức bậc hai
II. Định lý tam thức bậc 2
Cho f [x] = [a khác 0]
kí hiệu x1, x2 là nghiệm của f [x] = 0 ta có
S =
P =
a. Định lý thuận về dấu của tam thức bậc hai
Ta có mẹo ghi nhớ “Trong trái, ngoài cùng” [nghĩa là trong khoảng hai nghiệm thì trái dấu với a, còn bên ngoài hai nghiệm thì cùng dấu với a]
- Với mọi x nằm trong khoảng hai nghiệm thì f [x] trái dấu với a
- Với mọi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm thì f [x] cùng dấu với a
BẢNG XÉT DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI | |
Dấu của biệt thức | Dấu của f[x] |
- Cách xét dấu tam thức bậc 2:
- Bước 1: Tính , bấm máy tính và tìm hai nghiệm của tam thức bậc hai
- Bước 2: Dựa vào hệ số a và lập bảng xét dấu [trong trái ngoài cùng]
- Bước 3: Tiến hành xét dấu của bảng và đưa ra kết luận
b. Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai
Cho f [x] = [a khác 0]. Nếu có số thỏa mãn a. f [] < 0 thì f [x] có hai nghiệm phân biệt và
Hệ quả
- a. f [x] < 0
- a. f [x] = 0 là nghiệm của f [x]
- a. f [] > 0 và
III. Một số bài toán áp dụng dấu của tam thức bậc hai
Bài toán 1: Cho tam thức bậc hai sau và tiến hành xét dấu:
f [x] =
ta có
→ phương trình f [x] = 0 có hai nghiệm
Lập bảng xét dấu: “Trong trái ngoài cùng”
| x | 1 | ||||
| f[x] | + | 0 | - | 0 | + |
Như vậy:
f [x] < 0 → x
f [x] > 0 → x
Bài toán 2: Xét dấu tam thức bậc 2:
a]
b]
c]
d] [2x - 3][x + 5]
Hướng dẫn
a] Tam thức f[x] = có Δ = 9 – 20 = –11 < 0 nên f[x] cùng dấu với hệ số a.
Mà a = 5 > 0
Do đó f[x] > 0 với ∀ x ∈ R.
b] Tam thức f[x] = có Δ = 9 + 40 = 49 > 0.
Tam thức có hai nghiệm phân biệt , hệ số a = –2 < 0
Ta có bảng xét dấu sau
x | - | -1 | + | ||
| f[x] | - | 0 | + | 0 | - |
Như vậy f[x] > 0 khi x ∈ [–1; ]
f[x] = 0 khi x = –1 ; x =
f[x] < 0 khi x ∈ [–∞; –1] ∪ [; +∞]
c] Tam thức f[x] = có một nghiệm là x = –6, hệ số a = 1 > 0.
Ta có bảng xét dấu sau
Như vậy f[x] > 0 với ∀ x ≠ –6
f[x] = 0 khi x = –6
d] f[x] = [2x – 3][x + 5] = + 7x – 15
Tam thức f[x] = + 7x – 15 có hai nghiệm phân biệt , hệ số a = 2 > 0.
Ta có bảng xét dấu sau
x | -5 | ||||
f [x] | + | 0 | - | 0 | + |
Như vậy f[x] > 0 khi x ∈ [–∞; –5] ∪ [; +∞]
f[x] = 0 khi x = –5 ; x =
f[x] < 0 khi x ∈ [–5; ]
Một số bài tập tự áp dụng để rèn luyện
Bài 1: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm: f [x] = m+ [m – 1]x + 3 – 4m = 0 và thoả mãn
⇒ Đáp án: phương trình có hai nghiệm thoả mãn ⇔