Đề bài
Bài 1. Chứng tỏ: n2 + n + 1 không chia hết cho 2, với mọi \[n \mathbb N\]
Bài 2. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 1 + 3 + 5 + ...+ [2n 1] chia hết cho 5
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
Số lẻ không chia hết cho 2.
Số chia hết cho 5 có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5
Lời giải chi tiết
Bài 1. Ta có:
n2 + n + 1 = [n2 + n] + 1 = n[n + 1] + 1
n và n + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên luôn có một số chẵn và một số lẻ
n[n + 1] chia hết cho 2; 1 không chia hết cho 2
n[n + 1] + 1 không chia hết cho 2
Cách khác
+ Xét n = 2k, k N n2 = 4k2
n2 + n + 1 = 4k2 + 2k + 1; 4k2 2; 2k 2; 1 không chia hết cho 2
n2 = [2k + 1][2k + 1] = 4k2 + 2k + 2k + 1 = 4k2 + 4k + 1
n2 + n + 1 = [4k2 + 4k + 1] +[2k + 1] + 1
= 4k2 + 6k + 3;
4k2 2; 6k 2; 3 không chia hết cho 2
n2 + n + 1 không chia hết cho 2
Bài 2. Ta có:
1 + 3 + 5 + ...+ [2n 1] là tổng của n số lẻ tự nhiên
1 + 3 + 5 + ...+ [2n 1] = n2 [n N*]
n2 5 khi n = 5k, k N* [với n = 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3, 5k + 4 thì n không chia hết cho 5]