Đề bài
Cho góc \[\widehat {xAy}\] và đường tròn [O] tiếp xúc với Ax và Ay tại B và C. Trên đoạn thẳng BC lấy điểm M [ khác B và C]. Đường thẳng vuông góc với OM tại M cắt Ax, Ay lần lượt tại D và E. Chứng minh các điểm A, D, O, E cùng nằm trên một đường tròn.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minhA, D ở cùng phía đối với EO nên A và D nằm trên một cung chứa góc \[\dfrac{1 }{2}\widehat {xAy}\] dựng trên OE
Lời giải chi tiết
Xét \[[O]\] có \[Ax \bot OB\] [ tính chất tiếp tuyến] \[\Rightarrow \widehat {OBD}=\widehat {OBA} = 90^\circ \]
\[\widehat {DMO} = 90^\circ \] [gt] nên tứ giác OMBD nội tiếp.
\[ \Rightarrow \widehat {ODM} = \widehat {OBM}\] [ góc nội tiếp cùng chắn cung OM của đường tròn qua O, M, B, D]
Ta có:\[Ay \bot OC\] [ tính chất tiếp tuyến] \[\Rightarrow \widehat {OCA} = 90^\circ \]
\[ \Rightarrow \widehat {OBA} + \widehat {OCA}=90^0+90^0=180^0\] mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác ABOC nội tiếp.
Suy ra \[\widehat {OBM} = \widehat {OAC}\]
\[ \Rightarrow \widehat {ODM} = \widehat {OAC}\] hay \[\widehat {ODE} = \widehat {OAE}\].
Vì A, D ở cùng phía đối với EO nên A và D nằm trên một cung chứa góc \[\dfrac{1 }{2}\widehat {xAy}\] dựng trên OE hay A, D, O , E cùng nằm trên một đường tròn.