Đề bài
Hình thang \[ABCD\; [AB // CD]\] có \[\widehat{ACD}=\widehat{BDC}\]. Chứng minh rằng \[ABCD\] là hình thang cân.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bên bằng nhau, hai góc đáy bằng nhau.
- Dấu hiệu nhận biết hình thang cân: Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Lời giải chi tiết
Gọi \[E\] là giao điểm của \[AC\] và \[BD.\]
Xét \[ECD\] có: \[\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\] [giả thiết]
\[\Rightarrow \Delta EC{\rm{D}}\] cân tại \[E\] [dấu hiệu nhận biết tam giác cân].
\[ \Rightarrow EC = E{\rm{D}}\] [tính chất tam giác cân] [1]
Ta có:
\[{\rm{AB//DC}}\left[ \text{giả thiết} \right] \]\[\;\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {{C_1}}\\
\widehat {AB{\rm{E}}} = \widehat {{D_1}}
\end{array} \right.\left[ \text{so le trong} \right]\]
Mà:\[\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\left[ \text{giả thiết} \right] \Rightarrow \widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {AB{\rm{E}}}\] \[ \Rightarrow \Delta ABE\] cân tại \[E\] [dấu hiệu nhận biết tam giác cân]
\[ \Rightarrow AE = BE\] [tính chất tam giác cân] [2]
Lại có:
\[\left\{ \begin{array}{l}
AC = A{\rm{E}} + EC\\
B{\rm{D}} = BE + DE
\end{array} \right.\;\left[ 3 \right]\]
Từ [1], [2] và [3] suy ra \[AC = BD.\]
Suy ra hình thang \[ABCD\] là hình thang cân [dấu hiệu nhận biết hình thang].