Đề bài
Cho tam giác \[ABC\], trong đó \[BC=11cm\],\[\widehat{ABC}=38^{\circ},\widehat{ACB}=30^{\circ}.\]Gọi điểm \[N\] là chân của đường vuông góc kẻ từ \[A\] đến cạnh \[BC\]. Hãy tính:
a] Đoạn thẳng \[AN\];
b] Cạnh \[AC\].
Gợi ý:Kẻ \[BK\] vuông góc với \[AC\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] thì \[\widehat{B}+\widehat{C}=90^o\].
+] Sử dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông: Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] thì:
\[b=a.\sin B \Rightarrow a=\dfrac{b}{\sin B}\];
\[ b= a . \cos C \Rightarrow a=\dfrac{b}{\cos C}\].
Lời giải chi tiết
a] Kẻ\[BK\perp AC\] \[[K\in AC]\]
Xét tam giác vuông \[BKC\] ta có:
\[\widehat{KBC}+\widehat{KCB}=90^{\circ}\]
\[\Rightarrow \widehat{KBC}=90^o - \widehat{KCB}=90^o -30^{\circ}=60^{\circ}\]
Mà \[\widehat{KBA}+\widehat{ABN}=\widehat{KBN} \Rightarrow \widehat{KBA}=\widehat{KBN}-\widehat{ABN}\]
\[\Leftrightarrow \widehat{KBA}=60^{\circ}-38^{\circ}=22^{\circ}\]
Xét tam giác \[KBC\] vuông tại \[K\] có:
\[BK=BC\cdot \sin C=11\cdot \sin30^{\circ}=5,5[cm]\]
Xét tam giác \[KBA\] vuông tại \[K\] có:
\[BK=AB. \cos \widehat{KBA} \Leftrightarrow 5,5=AB.\cos 22^o \]
\[\Rightarrow AB=\dfrac{5,5}{\cos 22^{\circ}}\approx 5,932 [cm].\]
Xét tam giác \[ABN\] vuông tại \[N\] có:
\[AN= AB. \sin \widehat{ABN} \approx 5,932.\sin 38^o \approx 3,652[cm]\]
b] Xét tam giác \[ANC\] vuông tại \[N\] có:
\[AN=AC. \sin C \Rightarrow 3,652 = \sin 30^o . AC\]
\[\Leftrightarrow AC=\dfrac{3,652}{\sin 30^o} \approx 7,304[cm]\].