7.630 lượt xem
Giải hệ phương trình
Giải hệ phương trình bậc nhất một ẩn là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.
A. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là:
Trong đó x. y là hai ẩn, các chữ số còn lại là hệ số.
Nếu cặp số [x0;y0] đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì [x0;y0] được gọi là nghiệm của hệ phương trình [I]
Giải hệ phương trình [I] ta tìm được tập nghiệm của nó.
B. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Biến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình tương đương
Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Bước 1: Nhân các vế của cả hai phương trình với số thích hợp [nếu cần] sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
Bước 2: Cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình của hệ đã cho để được một phương trình mới [phương trình một ẩn]
Bước 3: Dùng phương trình một ẩn thay thế cho một trong hai phương trình của hệ [và giữ nguyên phương trình kia]
Bước 4: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Ví dụ: Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn giải
Nhân cả hai vế của phương trình x + 4y = 6 với 2 ta được
2x + 8y = 12
Hệ phương trình trở thành
Lấy hai vế phương trình thứ hai trừ hai vế phương trình thứ nhất ta được
2x + 8y – [2x – 3y] = 12 – 1
=>2x + 8y – 2x + 3y = 11
=>11y = 11
=> y = 1
Thay y = 1 vào phương trình x + 4y = 6 ta được
x + 4 = 6
=> x = 6 – 4
=> x = 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm [x; y] = [2; 1]
Ta có thể làm như sau:
Vậy hệ phương trình có nghiệm [x; y] = [2; 1]
Ví dụ: Biết [m, n] là nghiệm của hệ phương trình
Hướng dẫn giải
Ta có:
=> [x; y] = [m; n] = [2; 1]
=> m = 2; n = 1
S = m2 + n2 = 22 + 12 = 5
Vậy S = 5
C. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Biến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình tương đương
Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia.
Bước 2: Thế ẩn đã biến đổi vào phương trình còn lại để được phương trình mới [Phương trình bậc nhất một ẩn]
Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa tìm được rồi suy ra nghiệm của hệ phương trình.
Ví dụ: Giải hệ phương trình
Hướng dẫn giải
Hệ phương trình
Rút x từ phương trinh trình thứ nhất ta được x = 3 – y
Thay x = 3 – y vào phương trình thứ hai ta được:
[3 – y]y – 2[3 – y] = -2
=> 3y – y2 – 6 + 2y = -2
=> y2 - 5y + 4 = 0
Do 1 – 5 + 4 = 0 => y = 1 hoặc y = 4
Với y = 4 => x = 3 – 4 = -1
Với y = 1 => x = 3 – 1 = 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm [x; y] = [-1; 4] = [2; 1]
Ta có thể làm bài như sau:
Vậy hệ phương trình có nghiệm [x; y] = [-1; 4] = [2; 1]
D. Giải hệ phương trình bằng định thức
Hệ phương trình:
Định thức
Xét định thức | Kết quả | |
Hệ có nghiệm duy nhất | ||
D = 0 | Hệ vô nghiệm | |
Hệ vô số nghiệm |
E. Giải hệ phương trình đối xứng
1. Hệ phương trình đối xứng loại 1
Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1
Đặt
Chú ý: Trong một số hệ phương trình đôi khi tính đối xứng chỉ thể hiện trong một phương trình. Ta cần dựa vào phương trình đó để tìm quan hệ S, P từ đó suy ra quan hệ x, y.
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn giải
Đặt hệ phương trình đã cho trở thành
=> x, y là hai nghiệm của phương trình
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm [x; y] = [0; 2] = [2; 0]
Để hiểu hơn về cách giải hệ đối xứng loại 1, mời bạn đọc tham khảo tài liệu:
Các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1
2. Hệ phương trình đối xứng loại 2
Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2
Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình có dạng
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn giải
Điều kiện
Ta kiểm tra được
Xét trường hợp
Khi x = y xét phương trình
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất [x; y] = [0; 0]
Để hiểu hơn về cách giải hệ đối xứng loại 2, mời bạn đọc tham khảo tài liệu:
Các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 2
F. Giải hệ phương trình đẳng cấp
Ví dụ : Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
Từ phương trình thứ nhất ta có:
xy = -x2 - x - 3
Thay vào phương trình thứ hai ta được:
Đây là phương trình đẳng cấp đối với
Đặt
Với t = 1 ta có y = x2 + 2 thay vào phương trình thứ nhất của hệ phương trình ta thu được x = -1 => y = 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất [x; y] = [1; -3]
Để hiểu hơn về cách giải hệ đẳng cấp, mời bạn đọc tham khảo tài liệu:
Các phương pháp giải hệ phương trình đẳng cấp
Tài liệu liên quan:
-----------------------------------------------------
Hy vọng tài liệu Cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 9 sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi hệ phương trình đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!
Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:
- Luyện tập Toán 9
- Giải bài tập SGK Toán 9
- Đề thi giữa học kì môn Toán 9
Câu hỏi mở rộng củng cố kiến thức: